2024年中考数学专题训练——圆的切线的证明

2024年中考数学专题训练——圆的切线的证明 1．如图，在中，，平分交于点E，点D在上，，是的外接圆，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 2．如图，在中，，以边为直径作交于点D，过点D作交于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，且，则的长为 ． 3．如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 4．如图，直线与相离，过点作于点，交于点，延长交于点．点、在直线上，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径和弦的长． 5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长． 6．如图，的直径，弦，的平分线交于D．过点D作交CA的延长线于点E． (1)求证：DE是的切线． (2)求图中阴影部分的面积． 7．已知AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，点P为圆O外一点，且，． (1)求证：PA为圆O的切线； (2)如果，求AC的长． 8．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC、AD，CD∥AB。CO∥DE，∠A=22.5°. (1)求证:DE是⊙O的切线； (2)当时，图中阴影部分的周长为___________(直接填空). 9．如图，为的直径，平分交于点，于点． (1)求证：是的切线． (2)交于点，若，求的值． 10．如图，是的直径，弦与成角，交的延长线于点B．且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，连接BD． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)已知AC＝12，AF＝15，求DF的长． 12．如图，△ABC是以AB为直径的⊙O的内接三角形，BD与⊙O相切于点B，与AC的延长线交于点D，E是BD的中点，CE交BA的延长线于点F． (1)求证：FC是⊙O的切线； (2)若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的长和⊙O的半径． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，在⊙O上一点D，AD＝AC． (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)过D作DF⊥BC分别与AB、BC和⊙O交于点P、E、F，若∠BFD=，BF=，求⊙O的半径长． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，ADB BDC ，过点A作交CD延长线于点E． (1)求∠ABC的大小； (2)证明：AE 是⊙O 的切线． 16．如图，⊙是的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得．过点A作于点E，交⊙于点F． (1)求证：BD是⊙的切线； (2)若，，则AE的长为________． 17．如图，已知⊙O是的外接圆，过点O作于点D，作交AB延长线于点E． (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若，，求CE的长． 18．如图，在Rt中，，以斜边上一点为圆心，为半径作，交于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点，若，求的值． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出，即，从而得出是的切线； （2）根据和求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即，又为的半径， ∴是的切线； （2）∵ ∴为直径， ∵，， ∴， ∴，而的半径为4，， 即， ∴， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是解决问题的前提． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，易得，根据，得到，进而得到，得到，进而推出，即可得证； （2）设，分别解，，用含的代数式表示，利用，求出的值，进而得到的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， 设，则：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的判定