2024年中考数学专题训练——二次函数与直角三角形

2024年中考数学专题训练——二次函数与直角三角形 1．如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图，连接，当为等腰三角形时，求的值； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)连接，求 (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线过点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E (1)直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的动点，连接，点P落在坐标平面内的点处，将沿所在的直线对折．求当点恰好落在直线上时点P的横坐标． 4．综合与探究： 如图，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)若点D是第三象限抛物线上一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； (3)若点E是抛物线上一点，若是以为底的等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 5．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴负半轴交于点C，若．    (1)求抛物线解析式； (2)如图1，过A点的直线交抛物线于另一点D，点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，若是以为腰的等腰三角形，求P点的坐标； (3)如图2，将绕平面内一点M逆时针旋转后得到与对应，与对应，若点和点均落在抛物线上，求点的坐标． 8．如图，直线交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的值最小，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上找到一点Q，使是等腰三角形．请直接求出Q点坐标． 9．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别为，，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线．    (1)如图（）所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图（）所示，若抛物线的伴随直线是，且顶点横坐标为．求此抛物线的解析式； (3)如图（）所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． 求，的值 在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于两点，与二次函数图象的对称轴交于点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及这个二次函数的关系式： (2)求的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，已知抛物线（m是常数）的顶点为P，直线． (1)求证：点P在直线上； (2)已知直线与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值； (3)如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 12．已知抛物线经过点    (1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； (2)抛物线的对称轴上存在一点P，使是等腰三角形，求出P点坐标． (3)当时，函数y有最大值，求m的值． 13．已知拋物线经过点和，对称轴为直线．    (1)求该拋物线的解析式； (2)点在线段上，且，若动点从A点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点以某一速度从点出发沿线段匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段被直