2024年中考数学专题训练——二次函数与菱形

2024年中考数学专题训练——二次函数与菱形 1．（）已知抛物线 交轴于点 和 ，交 轴于点 ，顶点为 . 请直接写出抛物线的解析式式及点 的坐标； 如图，点 和点 关于抛物线对称轴对称，若点 是对称轴上一点，点 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上存在点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，且，请先直接写出点 的坐标，再选择一种情况说明理由. （）直线 与抛物线 交于 两点，若在 轴上存在唯一的一点 ，使，求 的值. 2．如图1，抛物线与x轴相交于点B，C（点B在点C左侧），与y轴相交于点，已知点C坐标为，面积为6．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交AC于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 3．已知抛物线过点和，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为，在直线上方抛物线上有一点（与不重合），面积与面积相等，求点的坐标； (3)若点为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为（点，，的对应点分别为点，，），平移时间为秒，直线交轴于点，交抛物线于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，请求出的值； （3）如图2，点为抛物线现点，在平面内找一点，使点，，，为顶点构成菱形，请直接写出满足条件的点的坐标． 5．已知：抛物线，抛物线，称抛物线，互为派对抛物线；例如抛物线与抛物线是派对抛物线，已知派对抛物线，的顶点分别为，，抛物线的对称轴交抛物线于，抛物线的对称轴交抛物线与． （1）已知抛物线①，②，③，④，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________（请在横线上填写抛物线的数字序号）； （2）如图1，当；时，证明； （3）如图2，连接，交于点，延长交轴的负半轴于点，记交轴于，交轴于点，． ①求证：四边形是菱形； ②若已知抛物线，请求出的值． 6．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，抛物线y=﹣2x2+bx+c过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由； （3）如图2，点E（0，1）在y轴上，连接AE，抛物线上是否存在一点F，使∠FEO与∠EAO互补，若存在，求点F的横坐标；若不存在，请说明理由．      7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式； (2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由； (3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标． 8．如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由 9．已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，C在第一象限，求以CD为直径的⊙E的最大面积，并判断此时⊙E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得⊙E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标； （3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由. 10．如图，已知二次函数y=ax2+3x+c的图象经过点C（0，4），与x轴分别交于点A，点B（4，