2024年中考数学专题训练——二次函数与等腰三角形

2024年中考数学专题训练——二次函数与等腰三角形 1．如图1，已知抛物线与 轴交于点和点，与轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式． （2）过抛物线的顶点作轴于，点为直线上一动点，当 是以HC为底的等腰三角形时，求出点的坐标． （3）如图2，点为第二象限抛物线上一动点，轴与交于，求 的最大值，并说明此时的面积是否最大． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点． （1）求直线BC的解析式； （2）过P作PM⊥x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值； （3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标． 3．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； （3）点M也是直线l上的动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 4．如图，抛物线交轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点、的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴交轴于，点为抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标． （3）为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OA＝OC＝3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上， （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，求⊙G最小面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知的直角顶点，斜边在轴上，且点的坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，抛物线过，，三点． （1）当时， ①求抛物线的解析式； ②平行于对称轴的直线与轴，，分别交于点，，，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的值． （2）以为等腰三角形顶角顶点，为腰构造等腰，且点落在轴上.若在轴上满足条件的点有且只有一个时，请直接写出点的坐标． 8．如图（1），矩形的一边在直角坐标系中轴上，折叠边，使点落在轴上点处，折痕为，已知，，并设点坐标为，其中．    （1）求点、的坐标（用含的式子表示）； （2）连接，若是等腰三角形，求的值； （3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为，连接AM，若，求、、的值． 9．如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． 　　　 （1）求，的值； （2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于，两点．求证：无论为何值，△恒为直角三角形． 10．如图，抛物线交轴于点交轴于点，直线经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． ①若点在直线的下方，当的面积最大时，求的值； ②若是以为底的等腰三角形，请直接写出的值． 11．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．    （1）求抛物线的解析式； （2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． （3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标． 12．如图①，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c与x轴交于点A(-1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D的坐标为(1，0)，点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值； (3)如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求