精品解析：陕西省西安市西安中学2024届高三上学期期末数学（理）试题

西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）试题 （时间：120分钟 满分：150分） 命题人：李珍 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 已知集合，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 若向量，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（ ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，） A. 20 B. 16 C. 12 D. 7 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以为球心的球与底面相切，则该球的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 关于函数有下述四个结论，其中结论错误是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于对称 D. 在上单调递增 10. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 11. 设，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，其中正确结论的个数有（ ） ①抛物线准线方程为 ②直线与抛物线相切 ③为定值5 ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列的公差为_________. 14. 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程：______． 15. 在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F.则_________. 16. 已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论： ①； ②不存在点，使得； ③的值恒为； ④四边形面积的最小值为． 其中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答题：本大题共7小题，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题） （1）必考题：共60分 17. 造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：）与树干最大直径偏差y（单位：）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下： 树苗序号 1 2 3 4 5 6 7 8 高度偏差x 20 15 13 3 2 直径偏差y 6.5 35 3.5 1.5 05 （1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若这种树苗的平均高度为，树干最大直径平均为，试由（1）的结论预测高度为的这种树苗的树干最大直径为多少毫米． 参考数据：，． 参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，． 18. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求的值． 19. 设椭圆离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为. （1）求椭圆C的方程； （2）过圆O上任意一点作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O. 20. 如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面． （1）若的中点为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 21. 已知，. (1)求曲线在点处的切线方程; (