2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（面积问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（面积问题） 1．我们约定：图象关于轴对称的函数称为偶函数．    (1)下列函数是偶函数的有________（填序号）； ①；②；③；④． (2)已知二次函数（为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数，新函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，若以为直径的圆恰好经过点，求平移后新函数的解析式； (3)如图，已知偶函数（）经过，，过点的一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点（在的左侧），过点分别作轴于点C，轴于点，取的中点，连接、，分别用，，表示，，的面积，若． ①证明：；     ②求直线的解析式． 2．如图，在正方形中，点在对角线上，交于点，连接．    (1)如图 ，若，，求的长； (2)如图 ，连接，交于点，若，求线段的长； (3)如图 ，连接，，设，的面积为，请用 的表达式表示，并求出的最大值；当取得最大值时，连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，与交于点，连接，求证：． 3．已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D． （1）求该抛物线的解析式及点D的坐标； （2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC、△BOC、△BCD的面积分别为S1，S2和S3，求证：S3=； （3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时直线MN的解析式；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，2），B（2，﹣2）两点． ⑴用含a的式子表示b． ⑵当a=﹣时，y=ax2+bx+c的函数值为正整数，求满足条件的x值． ⑶若a＞0，线段AB下方的抛物线上有一点E，求证：不管a取何值，当△EAB的面积最大时，E点的横坐标为定值． 5．已知是抛物线上的点，且点P在第一象限. （1）求的值 （2）直线过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M. ①当时，∠OPA＝90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出个反例说明； ②当时，记△MOA的面积为S，求的最大值. 6．如图，已知平面直角坐标系中，点，为两动点，其中，连结，． （1）求证：； （2）当时，抛物线经过两点且以轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式； （3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于两点，问是否存在直线，使？若存在，求出直线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 7．如图1，抛物线y＝ax2－3ax－4a(a＜0)，与x轴交于A、B两点(A在B左边)，与y轴交于C点，且tan∠CAO＝2． (1)求抛物线的解析式； (2)D为抛物线上一动点，且D在B、C两点之间．若四边形ACDB的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，已知直线l：y＝kx＋b(b≠0)与抛物线交于M、N两点，P为BC中点，Q为线段MN的中点，若PQ∥y轴，求证：MN∥BC． 8．如图1，在中，，，，点D在边上（不与点B重合），以为一边作正方形，连接． (1)如图2，当时， ① 求正方形的边长； ② 求证：； (2)当点D在上运动时，求面积的最大值． 9．如图，二次函数的图象与轴交于点，，顶点为．点在抛物线上（不与，重合），连接，．    (1)求二次函数解析式； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)设直线交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，，求证：． 10．已知一元二次方程的一根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：抛物线与x轴总有交点． （3）当p=－1时，（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A在B的左侧，若P点在抛物线上，当=4时，求P点的坐标． 11．如图1，二次函数（）顶点为A（，4），二次函数的图像与轴交于点B，BC平行轴，过点B作射线BD交二次函数的图像于点D，BC平分∠ABD． （1）用含a的代数式分别表示b，c； （2）求证：为定值； （3）若直线与轴及该抛物线的交点依次为P、M、N，其中线段MN长为m，当满足，且时，试确定a的取值范围． 12．如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，B作x轴的垂 线交抛物线y＝x2于点C，D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别为yE，yF. (1)特例探究(填空)： 当m＝1，n＝2时，yE＝____，yF＝____； 当m＝3，n＝5时，yE＝____，yF＝____． (2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用：连结EF，AE，当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四