2024年中考 数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）

2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊四边形） 1．已知抛物线与x轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． (3)点是抛物线的顶点，在平面内确定一点，使得以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)用配方法求顶点的坐标； (3)点是对称轴右侧抛物线上任意一点，设点的横坐标为． ①过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，当时，请直接写出点坐标； ②连接，以为边作正方形，是否存在点使点恰好落在对称轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线（为常数，且）的图象经过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点的直线交抛物线于点，为抛物线上的一动点，为对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴： (2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值； (3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 5．已知：二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点坐标为______； (3)是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______ (4)是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点到直线的距离最大值时点的坐标． 6．已知抛物线的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当△ACE的面积最大时，求出的最大面积和点D的坐标； (3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点是x轴上的一个动点，过点P作直线轴，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)①若点P在线段OB上运动，求线段MN的最大值； ②若点P在x轴的正半轴上运动，在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线经过点、两点，点C为抛物线与y轴的交点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点D是直线上方的抛物线上一点，求面积的最大值，以及面积取得最大值时，点D的坐标； (3)点P是直线上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线交抛物线于点D． (1)求点D的坐标； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，交于点E，连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线，点M是新抛物线对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线在直线下方的一动点，作轴，，分别交于点、，求的最大值和此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点在抛物线上．当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 11．如图，抛物线与轴交于原点及点，且经过点，对称轴为直线，连接交轴于点． (1)直接写出抛物线的解析式为___________； (2)在抛物线上取点，点在点左侧，连接、，若且，求两点的坐标； (3)连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标． 12．已知抛物线与直线交于、两点，如果点，． (1)求抛物线和直线的解析式． (2)长度为的线段在线段上移动，点与点在上述抛物线上，且