2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，抛物线与轴相交于点，与正半轴相交于点，负半轴相交于点． (1)求此抛物线的解析式． (2)如图1，是第一象限抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足是点，与的交点为，设． ①用含的式子表示：________，________． 直接用①的结论求解②③ ②若，请直接写出点的坐标． ③若，求点的坐标． (3)如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以点，，，为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 2．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． （1）若直线经过、两点，求直线和抛物的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）点为上一动点，过作轴垂线交抛物线于点（点在第二象限），求线段长度最大值． 3．如图，抛物线经过A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，2)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）有一平行于x轴的直线MN交抛物线于MN两点，当线段MN=8时，求点M、N的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标； （3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值． 5．已知抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A(−3，0)，该抛物线的对称轴为直线x=−1．其中顶点记为D． （1）求抛物线L的解析式和点D的坐标； （2）点M是x轴上任意一点，连接DM、CM、CD，当△CDM周长取最小值时，求点M的坐标； （3）将抛物线L向右平移a个单位长度得到新的抛物线G，抛物线G与x轴交于E、F两点（点E在点F的左边），当点B是线段EF的三等分点时，求a的值． 6．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标； （2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d的最大时点P的坐标． 7．如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行． （1）求的值及秒时点的坐标； （2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围； （3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标． 8．如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点B的横坐标是8． （1）求这条直线AB的函数关系式及点A的坐标； （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，写出点C的坐标，若不存在，请说明理由． （3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 9．如图1，抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式； （2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标； （3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标． 10．规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”， （1）求抛物线与x轴的“亲近距离”； （2）在探究问题：求抛物线与直线y=x−1的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗?请说明理由． 11．已知抛物线，与x轴交于两点，（点在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点，B和点C的坐标； （2）已知P是线段BC上的一个动点，求的最小值． 12．如图，二次函数的图象与轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数的图象经过点B和二次函数图象上另一点A． 其中点A的坐标为（4 ，3）． （