专题1.6 平面向量在几何和物理中的应用（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）

专题1.6平面向量在几何和物理中的应用 知识点1向量方法在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 重难点1证明线段垂直 1．用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形. 2．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 4．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 5．已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 重难点2证明线段平行 6．已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，． (1)求向量与夹角的余弦值； (2)证明：四边形ABCD是等腰梯形． 7．如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 8．已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况. (1)四边形是等腰梯形； (2)四边形是平行四边形. 9．在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 10．如图，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE=DF．用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形． 重难点3求几何夹角问题 11．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    12．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 .    13．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 14．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 15．如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 16．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为 . 重难点4求线段长度 17．如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 18．平行四边形中，，E是的中点，F是的中点，则向量的模长是 ． 19．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且，则AD的长为 ． 20．如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 21．如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 . 22．如图，在中，点是线段上一点（不是端点），，且．则的值为 ；若，则有＝ ． 重难点5判断三角形形状 23．若为所在平面内一点，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 24．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 25．已知，是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 26．设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为 . 27．已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)求，的坐标. (2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. 问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由. （注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分） 28．如图，在四边形中，，，，，且，且，则四边形是什么形状？ 知识点2向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3