2024年八年级数学下册寒假预习专题六勾股定理（人教版）

数学八年级下寒假预习专题训练 专题六 第17章 勾股定理 【专题导航】 目录 【知识点一 勾股定理及其证明】...........................................1 【知识点二 勾股定理的简单应用】.........................................5 【知识点三 数学思想】..................................................7 【考点一 勾股定理的证明】 知识点①　勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：定理成立的前提条件是直角三角形 【典例剖析1】 【典例1-1】4个全等的直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗?请试一试. 【典例1-2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 图① 图② 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. 证明：连接DB，过点D作边BC上的高DF，则DF=EC=b-a. ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab， 又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a(b-a)， ∴ b2+ ab= c2+ a(b-a)，∴a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°. 求证：a2+b2=c2. 【典例1-3】我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形的两直角边长分别为a，b(a<b)，斜边长为c. (1)请你运用本图验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么试求(a+b)2的值. 针对练习1 1.如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理． 2.下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：． 方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 能力提升1 1.在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：， 即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．    (1)请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）； (2)请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证； (3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：． 2.数学活动中，小明和同学动手拼图发现：两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形，可以拼成如图所示的直角梯形. （1）请你用两种不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c之间有什么数量关系呢？请证明你的发现. （2）若这个直角梯形的上下底之差为，高为，请计算一下的面积. 3．勾股定理的发现可以称为数学史上的里程碑，人们也对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法.我们知道，利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理.如图，在，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，.设，，，请利用下面的图形验证勾股定理. 【考点二 勾股定理的简单应用】 1. 已知直角三角形两边求第三边 2. 结合三角形面积、利用勾股定理求有关线段长度 3. 解题技巧： 4. 运用勾股定理求解线段长度问题的一般思路： 5. ①找直角；找出图形中的直角三角形，或作辅助线构造直角三角形。 6. ②定关系；找出所求线段与直角三角形三边的关系 7. ③计算；根据勾股定理计算相关线段的平方 8. ④求值；确定线段的长度。 9. 【典例剖析2】 【典例2-1】若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是_____cm. 【典例2-2】已知在中，，，求的长. 【典例2-3】（1）图1中三角形的面积为___________. （2）在图2中画出边长为、、3的三角形并求其面积. 针对练习2 1．如图，在中，，，，求的长. 2．如图，在中，，cm，cm.求BC的