新课第04讲：平面向量基本定理及坐标表示-2023-2024学年高一数学《赢在寒假》同步精讲精练系列（人教A版2019）

新课第04讲：平面向量基本定理及坐标表示 【考点梳理】 考点一：基底的概念和表示 考点二：平面向量基本定理的应用 考点三：平面向量的正交分解及其坐标表示 考点四：平面向量的线性运算坐标表示 考点五：由向量线性运算解决最值和范围问题 考点六：平面向量共线的坐标表示 考点七;平面向量的数量积的坐标表示 考点八：利用平行（共线）或垂直求参数 考点九：平面向量坐标表示的综合问题 【知识梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识点三 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点四 平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量→ (AB)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识点五 平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点六 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识点七　平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 【题型归纳】 题型一：基底的概念和表示 1．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2023下·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·陕西·高一校联考期中）如图，在中，设，，，，则（    ）    A． B． C． D． 题型二：平面向量基本定理的应用 4．（2023下·山东滨州·高一统考期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（    ） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 6．（2023下·福建福州·高一校联考期末）在中，点为BC边上一点，且，则实数（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量的正交分解及其坐标表示 7．（2023下·全国·高一期中）已知点，向量，则向量＝（    ） A． B． C． D． 8．（2020下·广东揭阳·高一统考期中）已知，若，则点的坐标为（    ） A．(－2，3) B．(2，－3) C．(－2，1) D．(2，－1) 9．（2023下·四川南充·高一统考期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，H是边AC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：平面向量的线性运算坐标表示