第十三章 轴对称－共顶点模型的等腰三角形题型训练课件 2023－2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 共顶点模型的等腰三角形 题型训练 (1)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H. 1 2 3 ②求∠DCE的度数． 解：∵∠DAB＋∠BAE＝90°， ∠EAC＋∠BAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC. ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD＝∠ACE＝135°. ∴∠DCE＝∠ACE－∠ACB＝90°. 4 (2)在△MNQ中，MN＝MQ, ∠NMQ＝90°，在平面内有一点P，满足PQ＝3，PN＝7，∠NPQ＝90°，请直接写出点M到NP的距离． 解：点M到NP的距离为2或5 5 【点拨】 如图①，过点M作MH⊥NP于点H， 连接MP，作∠PMD＝90°，交NP于点D， ∴∠NMQ＝∠DMP＝90°.∴∠NMD＝∠QMP. ∵MN＝MQ，∠NDM＝∠MPQ＝90°＋∠MPD， ∴△MPQ≌△MDN(AAS)． ∴MD＝MP，ND＝QP＝3. ∴△MDP为等腰三角形， DP＝NP－ND＝7－3＝4. 如图②，过点M作MH⊥NP于点H，连接MP，作∠PMD＝90°，交PN的延长线于点D， ∴∠NMQ＝∠DMP＝90°.∴∠NMD＝∠QMP. ∵∠NMQ＝90°，∠NPQ＝90°， ∴∠MQP＋∠MNP＝180°. 如图，△ABC与△EDC都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接AD，BE交于点M，连接CM，试探究线段BM与线段AM，CM之间的数量关系，并说明理由． 2 解：BM＝AM＋CM.理由如下： 如图，在DA上取点F，使DF＝ME，连接CF. ∵△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°. ∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD. ∴△BCE≌△ACD(SAS)． ∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC. 在△ABC中，AB＝AC，点D是射线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE. (1)如图①，若△ABC是等边三角形， 且AB＝AC＝2，点D在线段BC上． 3 ①求证：∠BCE＋∠BAC＝180°； 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC. ∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ABD＝∠ACE. ∴∠BCE＋∠BAC＝∠BCA＋∠ACE＋∠BAC＝∠BCA＋∠ABD＋∠BAC＝180°. ②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长． (2)若∠BAC≠60°，当点D在线段BC的延长线上移动时，如图②，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：∠BCE＋∠BAC＝180°. 理由：如图，设CE与AD交于点F. ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠ADB＝∠AEC. ∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD. ∵∠BAC＝∠FAE，∴∠BAC＝∠ECD. 又∵∠BCE＋∠ECD＝180°， ∴∠BCE＋∠BAC＝180°. ①求证：AH＝BC； 证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠BAH＝∠CAH＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴BH＝AH＝CH，∴AH＝BC. ∴∠MDH＝∠MPH＝45°. ∵MH⊥DP，∴∠DMH＝∠PMH＝45°， ∴DH＝MH＝PH， ∴MH＝DP＝2. 又∵∠MND＋∠MNP＝180°， ∴∠MQP＝∠MND.∵MN＝MQ， ∴△MPQ≌△MDN(ASA)．∴DN＝QP＝3. ∴DP＝NP＋ND＝7＋3＝10. 同理可得MH＝DP＝5. 综上所述，点M到NP的距离为2或5. 在△MEC和△FDC中， ∴△MEC≌△FDC(SAS)．∴MC＝FC，∠MCE＝∠FCD. ∴∠MCF＝∠MCE＋∠ECF＝∠FCD＋∠ECF＝ ∠ECD＝60°. ∴△MCF是等边三角形．∴MC＝MF. ∴BM＝BE－ME＝AD－DF＝AM＋MF＝AM＋CM. 解：∵△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2， ∴BC＝2.∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE. ∴四边形ADCE的周长＝AD＋DC＋CE＋AE＝ AD＋DC＋BD＋AE＝BC＋2AD. ∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长最小．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD＝CB＝×2＝1. $$