2.3 确定二次函数的表达式 　课件　2023—2024学年北师大版数学九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 第二章 二次函数 复习引入 1. 一次函数 y = kx+b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 导入新课 ∴ 典例精析 　　例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3) 和 (－1,－3)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 3=4a+c， －3=a+c， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5. a=2， c=－5. 解得 { 关于 y 轴对称 { 特殊条件的二次函数的表达式 新课讲授 　　1. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 针对训练 图象经过 原点 8=4a-2b， 5=a-b， ∴ 解得 ∴ y=-x2-6x. { { a= -1, b= -6. 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x-h)2+k，把顶点（-2，1）代入 y=a(x-h)2+k 得 y = a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2)2+1= -8， 解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y= -(x+2)2+1或y= -x2-4x-3. 顶点法求二次函数的表达式 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ① 设函数表达式为 y=a(x-h)2+k； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 针对训练 2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 解：∵(-3，0),(-1，0 )是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2). (其中x1、x2为交点的横坐标.)因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1) = -3， 解得 a= -1， ∴所求抛物线的表达式是 y= -(x+3)(x+1)， 即 y = -x2 -4x -3. 选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出过这三点的抛物线的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 交点法求二次函数的表达式 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a(x-x1)(x-x2)； ② 先把两交点的横坐标 x1 , x2 代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式. 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴. 合作探究 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 一般式法求二次函数的表达式 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入 y=ax2+bx+c 得 ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3） 试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c= -3， 解得 a = -1， b = -4， c = -3. ∴所求的二次函数的表达式是 y=-x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： （表达式） 2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原： （写表达式） 典例精析