第十三章轴对称－等腰三角形中作辅助线的常用方法训练　课件　2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 等腰三角形中作辅助线的常用方法训练 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证： 1 2 (1)ED＝DF； 证明：如图，连接AD. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C. 又∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°. ∴AD＝BD. 3 4 (2)ED⊥DF. 证明：∵△BED≌△AFD，∴∠BDE＝∠ADF. ∴∠BDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴ED⊥DF. 5 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB. 2 证明：如图，作EF⊥AC于点F. ∵EA＝EC，∴AF＝FC. ∵AC＝2AB， ∴AF＋FC＝2AF＝2AB. ∴AF＝AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. 又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)． ∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB. 如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于点F.求证：AB＝EF. 3 证明：如图，过点A作AG∥EF，交BD的延长线于点G，则∠G＝∠EFD. 【点方法】 当题目中出现角平分线、平行线这两个条件时，一般会有等腰三角形出现，简记为：角平分线＋平行线→等腰三角形．记住这个模式，有助于解题． 如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形． 4 ∵BD＝CE，∴BD＝GD.∴∠DBG＝∠DGB. ∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB. ∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时， 点Q从点C出发沿线段AC的延长线 移动，点P，Q移动的速度相同， PQ与直线BC相交于点D. 5 (1)求证：PD＝QD； 证明：如图，过点P作PF∥AC交BC于点F. ∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ. (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E.P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【点方法】 动态问题的求解思路． 动态问题是以点、线、面运动为情境，探索和发现其中的规律或结论的题型．由于图形运动，导致题目的条件不断改变，相应的数量关系和结论可能不改变，也可能改变，一般要根据条件进行探索． 若得到不变的值或结论，就求出了不改变的值或得到不变的结论；若不能得到不变的值或结论，就相当于说明了理由． 如图，在等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BE于G. 求证：BG＝EG. 6 20 证明：如图，过点D作DF∥BE，交AB的延长线于F. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°. ∴△ADF是等边三角形． ∴AD＝DF＝AF.∴CD＝BF. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB＋CD. 7 (1)求证：BE＝CE； 证明：如图，延长AB，DE交于点F. ∵AB∥CD，∴∠F＝∠2. ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F.∴AD＝AF. ∵AD＝AB＋CD，AF＝AB＋BF，∴DC＝BF. 又∵∠DEC＝∠FEB， ∴△DCE≌△FBE(AAS)．∴BE＝CE. (2)求证：AE⊥DE； 证明：由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF， ∴DE＝EF.∴AE⊥DE. (3)求证：AE平分∠DAB. 证明：∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB. 如图，在△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD，CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF. 8 证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接CG. ∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC， ∴△ABD≌△GCD(SAS)． ∴AB＝CG，∠G＝∠EAF. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA. 又∵∠EFA＝∠CFG， ∴∠G＝∠GFC.∴CG＝CF.∴AB＝CF. 如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC. 9 证明：方法一：如图①，延长CA至点E，使EA＝AD， 连接ED，则∠E＝∠ADE. ∴∠BAC＝∠E＋∠ADE＝2∠E. ∵∠BAC＝2∠B，∴∠E＝∠B. 又∵∠ECD＝∠BCD，CD＝CD， ∴△CDE≌△CDB(AAS)．∴CE＝CB. ∵CE＝AC＋AE＝AC＋AD， ∴AC＋AD＝BC. 方法二：如图②，延长DA到点E，使AE＝AC，连接CE