第十三章轴对称－含30°角的直角三角形的性质及应用模型训练课件 2023－2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 含30°角的直角三角形的性质 及应用模型训练 1 2 【点拨】 【答案】C 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是(　　) A．∠CAD＝30°　 B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED 2 【点拨】 因为∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠CAB＝60°.因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD＝30°，A正确；因为∠BAD＝∠B＝30°，所以AD＝BD，B正确；因为在△ACD中，∠CAD＝30°，∠C＝90°，所以AD＝2CD，所以BD＝2CD，C正确；只有当DE⊥AB时，CD＝ED，D错误． 【答案】D 3 【点拨】 因为在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，所以∠B＝30°，所以AB＝2AC＝4 km. 【答案】D 4 【点拨】 连接AD，如图． ∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. 由作法得DE垂直平分AC，∴DA＝DC＝3， ∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝120°－30°＝90°.在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴BD＝2AD＝6. 【答案】C 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1. 5 (1)求证：BE＝AD； 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°. 又∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD(SAS)．∴BE＝AD. (2)求AD的长． 解：由(1)知△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE. ∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝ ∠BAC＝60°. 又∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝90°－∠BPD＝90°－60°＝30°. ∴BP＝2PQ＝6.∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7. ∴AD＝BE＝7. 如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. 6 13 (1)若AD＝2，求AF的长； (2)当AD取何值时，DE＝EF? 第十三章 轴对称 第十三章 轴对称 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8.求CE的长． 7 17 在Rt△ADE中，∵∠CAD＝60°， ∴∠ADE＝90°－∠CAD＝90°－60°＝30°. ∴AD＝2AE＝2×8＝16. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°.∴AC＝2AD＝2×16＝32. ∴CE＝AC－AE＝32－8＝24. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长． 8 解：如图，延长AD，BC交于点E. ∵∠A＝30°，∠B＝90°， ∴∠E＝60°，AE＝2BE. 又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°. ∴∠ECD＝60°.∴△DCE是等边三角形． ∴CD＝CE＝DE.∵AD＝4，BC＝1， ∴BE＝BC＋CE＝1＋CD，AE＝AD＋DE＝4＋CD. ∴2(1＋CD)＝4＋CD，解得CD＝2. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC. 9 证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E. ∵DC∥AB，∠DAB＝30°， ∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝30°. ∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA. ∴AD＝CD.∴AD＝2CE. ∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD， ∴BC＝CE.∴AD＝2BC. 【点方法】 在同一个三角形中证明一条线段等于另一条线段的2倍，一是证明是直角三角形；二是证明较短的直角边所对的锐角等于30°. 如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°.求∠ACB的度数． 10 【点方法】 计算三角形中有关角的度数时，如果直接计算不出来，或者找不到解题途径，不妨考虑三角形的外角，它可以将不在同一个三角形中的角建立等量关系． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(　　) A．BD＝BC 　B．BD＝BC C．BD＝BC 　D．BD＝BC 因为∠BAC＝90°，∠C＝30°，所以AB＝BC，∠B＝60°.因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AB，所以BD＝BC. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪测得∠A＝60°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于(　　) A．2 km 　B