复习06 直线与圆锥曲线的综合归类（十大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习06直线与圆锥曲线的综合归类 一、直线与圆锥曲线的位置关系 设直线方程为,与圆锥曲线联立消去一个变量,得到关于另一个变量的一元方程,则有下列结论： ①当时,直线与圆锥曲线只有一个公共点； ②当时 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 二、弦长问题 设直线交圆锥曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 三、中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 四、定点定值问题 解题步骤： （1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； （2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； （3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； （4）由所得等式恒成立可整理得到定点或定值 五、切线问题 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为； 若在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为； 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为； 考点01直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】过点与抛物线只有一个交点的直线有（　　）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】已知双曲线：，直线过．“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-2】已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点02弦长问题 【例3】斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例4】已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求弦的长. 【变式2-1】已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积. 【变式2-2】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 【变式2-3】已知抛物线上的点到焦点F的距离为4． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 考点03中点弦问题 【例5】已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【例6】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线l过点，且与抛物线交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则的面积为 ． 【变式3-3】过点作直线交抛物线于，两点，且点恰为线段中点，则 . 考点04圆锥曲线中的参数范围问题 【例7】已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 【例8】在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线． (1)求的顶点C的轨迹方程； (2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围． 【变式4-1】已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【变式4-2】已知椭圆：过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若为钝角，求的取值范围. 【变式4-3】已知椭圆C：点，分别是椭圆C的左、右焦点，点A是椭圆上任意一点，O为坐标原点，且的最小值为1，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点作直线l与椭圆C交于不同两点P，Q，点M是线段PQ的中点，过点M作直线l的垂线交x轴于点N．求的取值范围． 考点05圆锥曲线中的最值问题 【例9】如图，椭圆的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若