6.4.3.1 余弦定理（导学教材+考点精析+反馈测试）-2023-2024学年高一数学寒假自修《导学•解读•突破》导学案(人教A版2019必修第二册）

6.4.3.1 余弦定理 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理。 2.能用余弦定理解决简单的实际问题。 重点：余弦定理的推导及应用 难点：余弦定理的应用 问题1 上一节我们学习了平面向量在平面几何中的应用，那么我们如何通过平面向量的知识求线段的长呢？ 探究1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的，也就是说，三角形的其他边和角都可以用这两边及其夹角来表示，那么如何表示呢？由此引入本节研究内容. 问题2 中，如何求的长？ 探究2：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c 追问：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？ 知识点一 余弦定理 文字表达：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍； 公式表达：a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝a2＋c2－2ac cos B；c2＝ 思考1：若已知的三边分别为，能否用三边表示？ 思考2：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？ 对余弦定理的理解 1．余弦定理对任意的三角形都成立． 2．在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量． 3．余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C　 B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　　 ) A. B．8 C．10 D．7 知识点二 解三角形 1．一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 ． 2．已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形． 思考1已知三角形的三条边能确定三角形的三个内角吗? 思考2已知三角形的三个角能不能解三角形? 考点一 已知两边及一角解三角形 角度1 已知两边和两边的夹角 例1（2023广东高二统考学业考试）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A．7 B．19 C． D． 【对点演练1】在中，若，，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【对点演练2】（2023上·河北·高三校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，，，则 ． 角度2 已知两边和其中一边的对角 例2．（2024高一专题练习）在中，， ，，则（    ） A． B．5 C．10 D． 　　　 【对点演练1】在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． 【对点演练2】（2023下·云南文山·高一校考阶段练习）在中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有 个． 考点二 已知三边解三角形 例2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 　　　 【对点演练1】（2023下·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】在△ABC中，BD为AC边上的中线，AB＝3，BC＝2，AC＝，则cos ∠ABD＝________． 【对点演练3】已知三角形的边长分别为2，3，4，则它的最大内角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【对点演练4】若已知的周长为9，且，则的值为（ ） 考点三 利用余弦定理进行边角转化 例3．（2023下·贵州黔西·高一校考期中）在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【对点演练1】（2023下·浙江台州·高一台州一中校考期中）在中，若，则角C等于（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2022下·四川成都·高一校联考期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【对点演练3】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，则角A的大小为 考点四 判断三角形的形状 例4 　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．试判断△ABC的形状． 　 【对点演练1】（2020上·河北·高三统考阶段练习）