6.3.5　平面向量数量积的坐标表示（导学教材+考点精析+反馈测试）-《寒假自修》2023-2024学年下学期高一数学《导学·突破·强化》导学案2019人教A版第二册

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。 2.能用公式求向量的数量积、模、夹角； 3.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式； 难点：平面向量数量积的应用。 阅读课本内容，自主完成下列内容。 探究1 类比前两节平面向量线性运算的坐标表示推导方法，试推导：若向量，则 探究2设，则用坐标怎样表示？ 探究3 表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么的坐标，怎么用坐标表示？ 探究4设，则用坐标表示能得到什么结论？ 探究5 设是两个非零向量，其夹角为θ，若，那么如何用坐 标表示？ 知识点一 平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝ ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ． (2)|a|＝ ． (3)a⊥b⇔ ＝0. (4)若a，b为非零向量，则cos θ＝＝ . 1．关于平面向量数量积的坐标表示 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． 1．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　) A．11　　 B．5　　　　C．－14　 　 D．10 2．若向量a＝(4，2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　　) A．12 B．3 C．－3 D．－12 3．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________． 探究6 已知点，能否表示两点间的距离？ 探究7 若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角,对吗? 探究8 已知向量a=(x,y),则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么? 4已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·云南·高二校联考期中）已知，则与垂直的一个单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点一　向量数量积的坐标运算 例1 (1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 (2)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·的值是________. 【对点演练1】（2024·四川遂宁·统考一模）已知向量，则（    ） A．10 B．18 C． D． 【对点演练2】已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若＋＝，且点P在直线AC上，则·＝________． 考点二　投影向量的坐标表示 例2（2024·全国模拟预测）向量，，那么向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】已知，，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2023上·广东广州·高三广州市白云中学校考阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D． 考点三　与平面向量模有关的问题 例3．（1）（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知平面向量，，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2）（2023·四川雅安·统考一模）如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（    ）    A． B． C． D．5 【对点演练1】（2024·高一课时训练）平面向量，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【对点演练2】（2024上·北京大兴·高三统考期末）设向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练3】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）已知是的边上的高，且，，则（    ） A． B． C． D． 考点四　平面向量的夹角(垂直) 例4 （1）（2023·四川内江·统考一模）设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D． （2）（2024北京顺义一中