6.3.2-6.3.4平面向量的正交分解及线性运算的坐标表示（导学教材+考点精析+反馈测试）-《寒假自修》2023-2024学年下学期高一数学《导学·突破·强化》导学案2019人教A版第二册

6．6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 1.教学重点：平面向量的正交分解，平面向量运算的坐标表示； 2.教学难点：平面向量运算的坐标表示。 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量正交分解的定义。 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量作正交分解。 (2)平面向量的坐标表示。 ①基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i,j,取{i,j}作为基底。 ②坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a= ,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标。 ③坐标表示:a=(x,y)。 ④特殊向量的坐标表示:i= j= ,0=(0,0)。 思考1：点的坐标与向量坐标有什么区别和联系? （1）对于，有且仅有一对实数与之对应，两向量相等时，坐标一样 （2）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关，当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变。 （3）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 1.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；________. 探究1：已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b， a－b的坐标吗？ 探究2：已知A（x1，y1），B（x2，y2），如何求的坐标吗？ 知识点二 平面向量加减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a＋b＝ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a－b＝ 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝ (1)平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标运算的结果仍然是坐标． (2)进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算． 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝(　　) A．(－2，1)　 B．(2，－1) C．(2，0) D．(4，3) 3．已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2) 4．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则＋的坐标是________． 知识点三 平面向量数乘运算的坐标表示 （1） 数量积的坐标表示 设向量a=(x,y),则有λa= ,这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 （2）平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0。向量a,b(b≠0)共线的充要条件是 。 （3）中点坐标公式 若P1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),线段P1P2的中点P的坐标为(x,y),则此公式为线段P1P2的中点坐标公式。 思考2：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0,是否对于任意两向量都成立?还需要注明b≠0吗? 思考3：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x2y2≠0,则向量a,b共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示? 要正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 5.下列向量组中，不满足e1∥e2的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(8,-2),e2= 考点1　平面向量的坐标表示 例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝