6.3.1 平面向量基本定理（导学教材+考点精析+反馈测试）-2023-2024学年高一数学寒假自修《导学•解读•突破》导学案(人教A版2019必修第二册）

6.3.1 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义； 2.会用基底表示某一向量； 重点：平面向量基本定理及其意义； 难点：平面向量基本定理的探究。 阅读课本内容，自主完成下列内容。 探究1 已知非零向量(图1)，请做出下列向量： (1) ; (2) (图1) 探究2 用向量可以表示平面上的任意一个向量吗? 探究3 平面上所有和平行的向量可以用向量表示吗?零向量呢？ 这种表示唯一吗?为什么? 探究4 根据物理知识，一个力可以根据解决实际问题的需要做不同的分解，将其分解成、大小、方向不同的分力，受力的分解的启发，我们能否通过平行四边形，将向量分解成两个向量，使向量是两个向量的和呢？ 探究5：如果是两个不共线的确定向量，请作出向量 探究6：那么与在同一平面内的任一非零向量能否用表示？是零向量呢？ 思考1：给定是两个不共线的确定向量，平面任一向量是否可以用形如的向量来表示呢？这种表示形式唯一吗？ 思考2：由物理中力的分解引出向量的分解，类比共线向量的基本定理，得出平面向量的基本定理。 知识点一 平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 思考3如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 思考4平面向量的基底是唯一的吗？ 对平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. (2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. (3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. (4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 1.下列关于基底的说法正确的序号是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①②　B．①③ C．②③ D．①②③ 2．已知向量a，b不共线，若λ1a＋b＝－a＋μ1b，则λ1＝________，μ1＝________. 考点一 平面向量基本定理的理解 例1（1）(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 （2）（2023下·高一课时练习）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【对点演练1】（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【对点演练2】(多选)设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 【对点演练3】（2024北京海淀统考期中）已知非零向量，其中是一组不共线的向量．能使得与的方向相反的一组实数的值为 ， ． 考点二　用基底表示平面向量 例2 （2024高二课时作业）在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2024·广东佛山·高一校考）如图，在中，，点是的中点．设，，则（    ）    A． B． C． D． 【对点演练2】（2023上·江西萍乡统考期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练3】（2023·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（    ） A． B． C． D． 考点三　平面向量基本定理的应用 例3（1）设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝(　　) A. B．－ C．－3 D．3 （2）（2024·山东泰安·高一泰安一中校考）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C． D．5 【对点演练1】（2024河