6.2.4向量的数量积（导学教材+考点精析+反馈测试）-《寒假自修》2023-2024学年高一数学下学期《导学·突破·强化》导学案2019人教A版第二册

6.2.4向量的数量积 1.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量； 2.会求平面向量的数量积、投影向量； 3.熟记平面向量数量积的性质； 4.能运用数量积的性质解决问题. 重点：平面向量数量积的定义及投影向量； 难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。 阅读课本内容，自主完成下列内容。 探究1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 探究2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 探究3：你能给出向量乘法的定义吗？ 知识点一　向量的夹角 定义：已知两个 a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (1)向量a与b的夹角的范围是 ； (2)当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b ； (3)如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作 ． 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同,向量夹角范围是[0,π],而两直线夹角的范围为。 1.已知是等边三角形，则向量的夹角的大小是 知识点二　向量的数量积 1．定义：已知两个 量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 ，可变形为cos θ＝ ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （2） 中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”； （3） 运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。 1.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　　) A．　 B． C．1＋ D．2 2．投影向量 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 探究4：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为， 那么与之间有怎样的关系？ (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定； (2)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 3.已知|a|＝3，|b|＝2，设e是a同方向上的单位向量，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________． 4.已知向量夹角为,则向量在向量上的投影向量为__________. 知识点三　向量数量积的性质及运算律 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ ． (2)a⊥b⇔ ． (3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 此外，由|cos θ|≤1还可以得到． (4)|a·b|≤|a||b|. 2．向量数量积的运算律 对向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝ (交换律)； (2)(λa)·b＝ ＝ 结合律)； (3)(a＋b)·c＝ (分配律). 思考1．若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c一定成立吗？ 思考2．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？ ． 考点一　向量数量积的运算 例1　(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)． (2)如图，正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a. 【对点演练1】（2023年12月江苏省泰州阶段性测试）已知，，均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练2】（2024年1月广东省高中学业水平考试模拟）设向量，，则（　　） A． B． C．－ D．－ 【对点演练3】（2024年“七省联考”考前猜想）在三角形中，，，，则（    ） A．10 B．12 C． D． 考点二 投影向量 例2 （1）（2024贵州省清镇市博雅实验学校高二上学期月考）已知，为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． （2）（2024河北省石家庄市部分重点高中上学期期末）在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【对点演练1】（2023上·江西·高三校联考阶段练习）已知为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量