2023-2024学年北师大版七年级数学寒假专题作业 第6讲 两个乘法公式

第6节 两个乘法公式（学生版） 目标层级图 课前检测 1．若，那么代数式应为　　 A． B． C． D． 2．已知将乘开的结果不含项，并且的系数为2．则　　． 3．比较大小：　　（填“”或“”． 4．已知，则代数式的值为　　． 5．． 课中讲解 一.平方差公式 内容讲解 （一）平方差公式 1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 即：= - . 2．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 ，另一项 ； （2）右边是 的平方减去 的平方； （3）公式中的和可以是具体数，也可以是 或 ； （4）对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． （二）平方差公式的证明 证明方式一：如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙），上述操作所能验证的公式是 ． 证明方式二：如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），请用上述操作所能验证的平方差公式 ． 1．利用平方差公式进行计算 例1．计算： （1）　 　；（2）　 　； （3）　 　；（4）　 　． 例2．（1）若，，则　 　； （2）已知，，则　 ． 例3．下列各式中不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 过关检测 1．计算：（1）=　 　；（2）　 　； （3）　 　 ． 2．（1）已知，，则　 　 ； （2）已知，，则　　 ． 3．下列算式不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 2．平方差公式的逆用 例1．（1）若，，　 ； （2）若，，则　 　． 例2．（1）如果，则的值为　　 ； （2）如果，则　 　． 例3．利用乘法公式计算： （1）； （2）； （3）． 过关检测 1．（1）若，，则　 ； （2）若，且，则的值是　 　 ． 2．（1）如果，那么的值是 ； （2）如果，则的值为 ． 3．利用乘法公式进行计算： （1）； （2）； 3．平方差公式的连用 例1．计算：（1）； （2）． 过关检测 1．计算：（1）； （2） 4．平方差公式的证明 例1．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证　　 A． B． C． D． 例2．从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形（如图，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图，上述操作所能验证的等式是　　 A． B． C． D． 过关检测 1．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为　　 A． B． C． D．无法确定 2．如图所示，从边长为的大正方形中挖去一个边长是的小正方形，小明将图中的阴影部分拼成了一个如图所示的矩形，这一过程可以验证　　 A． B． C． D． 二. 完全平方公式 内容讲解 （一）完全平方公式的证明 1．请用两种方法表示下列各图的面积： 图1 图2 方法一： 方法二： 结论： 方法一： 如图1，大正方形的面积等于边长的平方，即S 方法二： 如图1，大正方形的面积等于分割出的四部分面积之和 即S= = 两种方法表示的是同一个图形的面积所以结论应该相等 即：= （二）完全平方式的代数证明 === = 因此我们得出新的乘法公式：完全平方公式 等号左边：和平方、差平方 等号右边：首平方，尾平方，积的2倍放中间 公式的简单变形： （三）完全平方公式的直接运用 例1．（1） （2） （3） （4） （5）． （6） 例2．下列等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 过关检测 1．（1） （2） （3） （4） （5） （6） 2．下列计算错误的有（ ） ① ；② ；③ ； ④ ；⑤ A．1个