数列求和常用方法专题-2024届高三数学一轮复习

数列专题 数列求和常用方法 一、公式法 1．等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋． 推导方法：倒序相加法． 2．等比数列{an}的前n项和Sn＝ 跟踪练习 1．已知等差数列， （1）求的通项公式 （2）求数列的前项和为 2． 在等差数列中: （1）已知,求 （2）已知,求. 3．一个等比数列的第2项是10,第3项是20,且它的前n项和为,求: （1）该数列的通项公式 （2）的值 4．等比数列中,,. （1）求的通项公式； （2）记为的前n项和,若,求m. 2、 分组转化法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减． 跟踪练习 5．记为数列的前n项和,已知,是公差为的等差数列. （1）求的通项公式; （2）设,求的前2n项和. 6．已知为数列的前n项和，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求前项的和. 7．已知数列的各项均为正数,对任意的,它的前n项和满足,并且,,成等比数列. （1）求数列的通项公式; （2）设,为数列的前n项和,求. 8．已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，. （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 9．已知数列的前n项的和为,且满足. （1）求数列的通项公式及; （2）若数列满足,求数列的前n项的和. 3、 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (1)＝－； (2)＝； (3)＝； (4)＝－． 跟踪练习 10．等差数列的前n项和为,已知,为整数,且. （1）求的通项公式; （2）设,求数列的前n项和. 11．已知数列满足：，. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，，求数列的前n项和. 12．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10,且,,是等比数列的前3项. (1)求,; (2)设,求的前n项和. 13．设数列的前n项和为,. （1）求证数列为等比数列,并求数列的通项公式. （2）若数列的前m项和,求m的值, 14．已知函数满足，若数列满足：. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 4、 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解． 跟踪练习 15．在数列中,,点在直线上. （1）求数列的通项公式; （2）若,求数列的前n项和. 16．已知单调递增数列的前n项和为,且. (1)求的通项公式; (2)记,求数列的前n项和. 17．已知是首项为1的等比数列,且,,成等差数列. （1）求数列的通项公式; （2）设,,求数列的前项和. 18．已知等差数列的公差不为零,,且,,成等比数列,数列的前n项和为,满足. （1）求数列和的通项公式; （2）若数列满足：,,求使得成立的所有n值. 19．已知数列中,, （1）求证：数列是等差数列,并求出的通项公式; （2）设,求数列的前n项和 五、数列求和其他方法 跟踪练习 20．已知函数. 求的值; 21.已知数列满足,,求证: 是等差数列,并求的通项公式. 22．设是数列的前项和,已知,. （1） 求数列的通项公式. （2）设,求数列的前项和. 23．已知数列的前项和. （1）求和. （2）求数列的通项公式;设,求, 24．若数列是正项数列,且, （1）求的通项公式 （2）设,求数列的前项和 跟踪练习（参考答案） 1．答案：（1）； （2） 解析： （1）由已知得， 解得 的通项公式为， 即； （2）由（1）得数列的前项和 2．答案：（1） 由已知条件得 解得 ∴. （2） , ∴. ∴. ∴. 3．答案：（1） （2） 4．答案：(1) 或 (2)7 解析：（1）设的公比为q,由题设得, 由已知得,即, 解得（舍去）,或, 故或. （2）若,则. 由得,此方程没有正整数解. 若,则, 由得,解得, 综上,. 5．答案：（1） （2） 解析：（1）由是公差为的等差数列,且,则, 即,当时,,两式相减可得：, 整理可得,故, 将代入上式,,故的通项公式为. （2）由,则. 6．答案：（1） （2）2772 解析：（1）因为， 所以，当时，，解得， 当时，，， 所以，即， 所以，数列是等比数列，公比为2，首项为， 所以，数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以， 记前12项的和为， 所以， . 7．答案：（1）; （2）. 解析：（1）对任意,有① 当时,有,解得或2. 当时,有②, ①-②并整理得. 数列的各项均为正数,. 数列是公差为3的等差数列, 当时,,此时成立; 当时,,此时不成立,舍去.. （2）. , . 8．答案：（1）