专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类 目 录 01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 2 02 蒙日圆 3 03 阿基米德三角形 3 04 仿射变换问题 4 05 圆锥曲线第二定义 5 06 焦半径问题 5 07 圆锥曲线第三定义 6 08 定比点差法与点差法 6 09 切线问题 7 10 焦点三角形问题 8 11 焦点弦问题 8 12 圆锥曲线与张角问题 9 13 圆锥曲线与角平分线问题 9 14 圆锥曲线与通径问题 10 15 圆锥曲线的光学性质问题 10 16 圆锥曲线与四心问题 11 01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（    ） A．的方程为 B．当三点不共线时，则 C．在C上存在点M，使得 D．若，则的最小值为 02 蒙日圆 4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 03 阿基米德三角形 7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（   ） ①椭圆的标准方程可以为    ②若，则 ③存在点，使得    ④的最小值为 A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 8．（2024·河北·校联考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点必在直线上，且以为直径的圆过点 B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点 D．点必在直线上，且以为直径的圆过点 9．（2024·青海西宁·统考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 04 仿射变换问题 10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 . 11．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 . 12．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心