1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量数量积的运算 学习目标： 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2.掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算规律； 3.掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单的问题. 重点：数量积运算在空间几何体中的应用 难点：空间向量数量积性质的应用 与 反向 O A B O A 与 同向 O A B B 记作 与 垂直， O A B 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的 一、回顾旧知 1.平面向量的夹角： 平面向量的数量积的定义： 2.平面向量的数量积 1. 空间两个向量的夹角的定义 O A B 二、探究新知 2.空间两个向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于零。 3.空间向量的数量积性质 注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据； 　 ②性质3）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向量　　 ，有： 4、投影向量 思考 ：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量 在向量 上的投影有什么意义？向量 向向量 的投影呢？向量 向向量 的投影呢？ 图1.1-11 5.空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律 三、巩固新知 1)下列命题成立吗? ①若 ,则 ②若 ,则 ③ 练习： 例1： 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 例2已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值． 技巧：由空间向量的数量积求夹角的方法 例3：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF. 利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可． 通过学习, 我们可以利用向量数量积解决 立体几何中的以下问题： 四、课堂小结 作业: 课本P9 练习 2题 1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.求两直线所成角. $$