（新课衔接）专题04 勾股定理-2023-2024学年八年级数学下学期寒假学习精讲练（人教版）

2023-2024学年人教版数学八年级寒假学习精讲练讲义 专题04 勾股定理 1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 会用勾股定理进行简单的计算 . 2.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. 能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 难点：了解利用拼摆验证勾股定理的方法.熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 知识点01：勾股定理 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角 边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． 知识点:02：勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积 之间的关系为依据来实现的．用面积方法证明勾股定理是最常见的一种方法. 知识点:03：勾股定理的应用 （1） 在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 知识点01：勾股定理 【典例讲解】（2023秋•丰顺县期末）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC＝90°．则该三角形的三边满足的关系是（　　） A．a2+b2＝c2 B．a2+b2＝b2 C．b2+c2＝a2 D．a+b＝c 【思路点拨】直接根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解：∵∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠BAC＝90°， ∴a是Rt△ABC的斜边， ∴b2+c2＝a2． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•新都区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D做ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为 　　． 【变式训练1-2】（2023秋•宁波期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 【变式训练1-3】（2023秋•公主岭市期末）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，∠CAB＝60°，点M从点A出发，沿A→C方向以1cm/s的速度运动到点C停止．点N从点B出发，沿B→A方向以2cm/s的速度在射线BA上运动，已知点N与点M同时出发，当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设点M运动的时间为t s．（1）请用含t的代数式表示： ①当点N在线段BA上运动时，AN＝　 　cm． ②当点N在线段BA的延长线上运动时，AN＝　 　cm． （2）在整个运动过程中，当△AMN为等腰三角形时，求t的值． 【变式训练1-4】（2023秋•船营区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为 ；（用含t的代数式表示） （2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值． 知识点02：勾股定理的证明 【典例讲解】（2023秋•张店区校级期中）问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： （1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 尝试证明： （2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理； 定理应用： （3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设，需要绕道沿着矩形的边AB和BC铺设管道，经过测量AB＝16米，BE＝12米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？ 【思路点拨】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据等积法可进行求解； （3）利用勾股定理可进行求解． 【规范