（新课衔接）专题01 二次根式-2023-2024学年八年级数学下学期寒假学习精讲练（人教版）

2023-2024学年人教版数学八年级寒假学习精讲练讲义 专题01 二次根式 1.理解二次根式的概念. 掌握二次根式有意义的条件.会利用二次根式的非负性解决相关问题. 2.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法 会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 重点：形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念.掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算. 难点：利用“(a≥0)”双重非负性解决具体问题.二次根式的性质的应用. 知识点01： 二次根式的定义 形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 知识点02 ：二次根式有意义的条件 （1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：. 知识点03：判断二次根式有意义的条件 （1） 如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零 知识点04：二次根式的性质 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 知识点01：二次根式的定义 【典例讲解】（2023秋•南岸区期末）在进行实数的化简时，我们可以用“＝•（a≥0，b≥0）”．如，＝＝×＝2，利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 　21　； （2）设n为正整数，若y＝，y是大于1的整数，则y的最大值与y的最小值的差为 　8　． 【思路点拨】（1）先把写成，再根据m为正整数，是整数即可求出m的最小值； （2）根据二次根式的性质找出y的最大值与最小值，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）， 因为m为正整数，是整数， 所以m的最小值是21， 故答案为：21； （2）∵，且y是大于1的整数， ∴n的最小值是2， 即y的最大值是10， 易知越小，越小，则n越大， ∵是大于1的整数， ∴的最小值是2，即y的最小值是2， ∴y的最大值与y最小值的差为10﹣2＝8， 故答案为：8． 【考点评析】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质与化简是解题的关键． 【变式训练1-1】（2023秋•沈丘县期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2023秋•琼中县期末）若和，都是二次根式，则（　　） A．x＞0、y＞0 B．x＜0、y＜0 C．x＞0、y＜0 D．x＜0，y＞0 【变式训练1-3】（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． （1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝　 ； （2）若﹣1与m﹣是关于﹣2的因子二次根式，求m的值． 知识点02：二次根式有意义的条件 【典例讲解】（2023春•朝天区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：； （2）若a，b满足，且c＝12，判断此三角形的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据三角形的三边关系，得到a﹣b＜c，根据二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的非负性，求出a，b的值，利用勾股定理逆定理即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a﹣b＜c， ∴a﹣b﹣c＜0， ∴＝|a﹣b﹣c|＝﹣a+b+c． （2）∵， ∴a＝5，b＝13． ∵52+122＝169＝132，即a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形． 【考点评析】本题考查二次根式的应用．解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，以及二次根式的非负性． 【变式训练2-1】（2023秋•城关区校级期末）设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（　　） A．1 B．9 C．4 D．5 【变式训练2-2】（2023秋•锦江区校级期末）已知，则b的立方根为 　 　． 【变式训练2-3】（2023春•船营区期中）已知a，b为一个等腰三角形的两边长，且满足等式，求此等腰三角形的周长． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•凤翔区期末）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2022秋•昌黎县期末）若实数x，y满足，则x﹣y的值是（　　） A．1 B．﹣6 C．4 D．6 3．（2022秋•东明县期末）给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023秋•长春期末）若使二次根式在实数范围内有意义，则