2024年中考数学专题提升练习：圆的切线的证明

2024年中考数学专题提升练习：圆的切线的证明 1．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 2．如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由． 3．ΔABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与O相切于点D． 求证：AC是O的切线． 4．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切. 6．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线 （2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB为半径作☉D. 求证：AC与☉D相切. 8．已知：如图所示，AB是⊙O的弦，，C是优弧AB上的一点，BD//OA，交CA的延长线于点D，连接BC。 （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若AC=4，，求⊙O的半径。 二、综合题 9．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD． （1）若BC=3，AB=5，求AC的值； （2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=，求EF的长． 11．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA． （1）求∠DOA的度数。 （2）求证：直线ED与⊙O相切. 12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 13．已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若AF=3，BC=8，求AE的长． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 16．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 17．如图，AB为⊙O直径，D为BC弧的中点，DE⊥AC于E， （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）已知：CE=2，DE=4，求⊙O的半径． 18．如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PC=3，PF=1，求AB的长． 答案 1．证明：连接OC，如图 ∵OA= OB，CA= CB， ∴OC⊥AB， 又∵OC是⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线. 2．解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．理由如下： 作PE⊥AB于E，如图， ∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB于E， ∴PE=PD， ∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切． 3．证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA， ∵AB与O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是O的半径， ∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE， ∴AC是O的切线。 4．解：（1）连结OA、OB、OC、BD，如图， ∵AB与⊙O切于A点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形ABCD为菱形，