2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，，，，点在边上，经过点，分别交、于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)求图中阴影部分的面积． 2．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且． (1)求证：是的切线． (2)若，平分，求线段的长． 3．如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 4．已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A． (1)求证：CD为⊙O的切线； (2)过点C作CE⊥AB于E．若CE＝2，，求⊙O的半径． 5．如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线． (1)求证：AD是O的切线． (2)若O的半径为4，，求平行四边形OAEC的面积． 6．如图，为的直径，点D为圆上任意一点，过点D作的切线交直径的延长线于点C，过点O作交的延长线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 7．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 8．如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，求． 9．如图，已知是的直径，是的弦，延长到C，使，连接，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求． 10．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 11．如图，在等腰中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 12．已知： 如图，的半径为5，D是半圆弧上一动点 （不与重合），以为邻边作平行四边形． (1)如图1，当时，求证：直线是的切线； (2)如图2，当时，边与交于另一点E，求的长． 13．如图，是的外接圆，是的直径，．      (1)求证：是的切线； (2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形． 14．如图，为的直径，是上一点，于点，弦与交于点，过点作，使，交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．      (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求图中阴影部分面积． 15．已知是的内接三角形，的平分线与相交于点D，连接．    (1)如图1，过点D作直线，求证：是的切线； (2)如图2，设弦，延长后交外一点F，过F作的平行线交的延长线于点G，过G作的切线（切点为H），求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）解：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵点在边上， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 2．（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）∵平分， ∴． ∵， ∴. ∴在中，， 根据勾股定理，得， ∴在中，． 3．（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，      ∴，即：， ∵是的半径， ∴CE是的切线， （2）连接， ∵点D是的中点，AC是的直径， ∴， ∴，， 在中，设， 由勾股定理可得：，， 解得：， ∴， ∵，， ∴，则有， 故的长为4． 4．（1）证明：连接CO， ∵AB是的直径， ∴， ∵AO=CO， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵OC是的半径， ∴CD为的切线． （2）解：∵于点C， ∴， ∵于E， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为． 5．（1）证明：连接OD． ∵四边形OAEC是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵AB与相切于点B， ∴， 又∵OD是的半径， ∴AD为的切线． （2）∵ 在Rt△AOD中， ∴平行四边形OABC的面积是 6．（1）如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是的切线； （2）设的半径长为r，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的半径长为6． 7．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 8．（1）连接，则，    ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的