2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊三角形）

2024年中考 数学高频压轴题训练—— 二次函数压轴题（特殊三角形） 1．如图，在直角坐标系中，已知抛物线（其中，为常数，且）与轴的一个交点为，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，判断与之间的数量关系，并加以证明； （3）如果点是抛物线上的一点，且，试求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标； （3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论； （4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B做直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C做直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值． 3．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A．B两点的坐标分别为A（，B，AB中点P的坐标为．由，得，同理，所以AB的中点坐标为（，）．由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为AB=． 注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题： 如图2，直线l：与抛物线交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C． （1）求A、B两点的坐标及P、C两点的坐标； （2）连结AB、AC，求证：△ABC为直角三角形； （3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离． 4．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点E是x轴下方抛物线上的一个动点（点E，D，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CE的垂线，垂足分别为M，N，连接MD，ND． (1)求抛物线的解析式； (2)延长MD交于BN点F， ①求证：； ②求证：； (3)当为等边三角形时，请直接写出直线CE与抛物线对称轴的交点坐标． 5．已知关于x的函数y=m－x－（m－1）. （1）m=__________时，y=m－x－（m－1）是一次函数； （2）求证：对任何实数m，y=m－x－（m－1）的图像与都有公共点； （3）若是关于的二次函数y=m－x－（m－1）的图像与x有两个不同的公共点A、B （点A在点B左边），图像顶点为C，且△ABC是等腰直角三角形，求m的值； （4）是否存在这样的点P，使得对任何实数m，y=m－x－（m－1）的图像都经过P点？若存在，求出所有P的坐标；若不存在，请说明理由. 6．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F (1)求抛物线的表达式； (2)求证：∠BOF＝∠BDF ： (3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长 7．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 8．如图，抛物线（m＞0）经过点A（0，m），与x轴交于点B、点C，抛物线的对称轴交抛物线和x轴于点D、点E． （1）求点B、点C的坐标； （2）当∠BAC=90°时，求证：△ADE是等腰直角三角形； （3）在（2）的条件下，除点D外，第一象限内的抛物线上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图二次函数（）的图象，与直线相交于坐标轴上的B、C两点，并且与x轴的另一个交点为A (1)求此二次函数的表达式； (2)过点A，C作直线，求证：； (3)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 10．已知，抛物线（a≠0）经过点A（4，4）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标： ． (3)如图2，直线l经过点C（0，﹣1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）． 11．已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图像与轴总有两个公共点； （2）二次函数的图像与轴交于点，顶点为，将二次函数的图像沿轴翻折，所得图像的顶点为，若是等边三角形，求的值． 12．如图1，已知二次函数：和二次函数