数学文化 分形几何-【学力水平 快乐寒假】2024年春七年级数学寒假作业(人教版)

学力水平快乐假期 寒假 数学文化 分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数.比如，零维的点、一 维的线、二维的面、三维的体乃至四维的时空，最近十几年产生了新兴的分 形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学 的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注 分形几何的产生 客观自然界中许多事物具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚 至具有无穷层次.适当放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变.不少复杂 的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量.用尺来测量万里长城，嫌太短：用 尺来测量大肠杆菌，又嫌太长.从而产生了特征长度，还有的事物没有特征长度，就必须同时考 虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的间题， 如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，大至木星大气中 的涡流，都是十分紊乱的流体运动.流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微许多尺度上的旋 涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度 性”解决问题，湍流中高旋涡区域，就需要用分形几何学。 在20世纪70年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长. 这个问题依赖于测量时所使用的尺度， 如果用千米做测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略：改用米来做单位，测得的 总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来.涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具 有各种层次的不规则性.海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出 的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界.使用比这更长的尺度是没有意义的. 还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的.在这两个自然限度之 间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲 线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大.以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征 量，即海岸线的分维均介于1到2之间. 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分 布，就具有分维的吸引子.多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象. 口月☐日星期☐天气◇ 数学七年级 这些促使数学家进一步研究，从而产生了分形几何学， 电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门.这座具有无穷层次结构的宏伟建 筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究 曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生起了重大的推动作用.他在 1975年、1977年和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形一形、机遇和维 数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支一分形几何学。 分形几何的内容 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与 整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为 自相似性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断 分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场.这种自相似的层次结 构，适当放大或缩小几何尺寸，整个结构不变 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目.在 欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维.也可以 稍加推广，认为点是零维，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以 和欧氏空间对应，也容易确定维数.但通常人们习惯于整数的维数， 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引 入的重要概念.为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了 维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念. 当我们画一根直线，如果我们用零维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷 多个点：如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面.那么，用怎样的尺 度来量它才会得到有限值呢？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这 里直线的维数为1（大于0、小于2）. 对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线 段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与 “寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1小于2，那么只能 是小数了