第12章 重点突破专题 构造全等三角形的常用辅助线-【名师学案】2023-2024学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

重点突破专题， 构造全等三角形的常用辅助线 类型一利用“角平分线”构造全等三角形 模型展示 1.过角平分线上的一点作角两边的垂线，如图1. 2.在角的两边截取相等的线段构造全等三角 形，如图2. 图I 图2 1.如图，P为∠ABC的平分线上的一点，点D 和点E分别在AB和BC上，且BD<BE, PD=PE,求证：∠BDP+∠BEP=180. 类型二利用“倍长中线法”构造全等三角形 模型展示 将中线延长一倍，然后利用 “SAS”判定三角形全等. B 3.如图，△ABC中，AD是中线. (1)求证：AB+AC>2AD: (2)若AB=5,AC=7,求AD长的取值范围. 2.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC= 40°，BD平分∠ABC交AC于点D,延长BD 至点E,使ED=AD,连接CE 求证：BC=AB+CE. 助学助教优质高数40 4.如图，CE是△ADC的中线，点B在AD的延 【初步探索】 长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC. 小亮同学认为：延长FD到点G,使DG= 求证：CE=BC BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD 之间的数量关系是 【拓展延伸】如图2，AB=AD,∠B+∠ADC =180°，E,F分别是BC,CD上的点，∠EAF =号∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明 理由. 图 图2 类型三利用“截长补短法”构造全等三角形 解题技巧 截长补短法的具体做法：在较长线段上截 取一条线段与特定的较小线段相等，或将某条 较小线段延长，使延长部分与特定线段相等， 再利用全等三角形的性质进行证明.这种方法 适用于证明线段的和、差等关系。 5.【问题情景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分 别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，试探究 线段BE,EF,FD之间的数量关系. 41八年级数学·上册(2)由(1)知△BCE≌△DCF,∴.BE=DF=2.在Rt△ACE和Rt△ACF中， EC,R△ACE2R△ACP(HL),AF=AE=5.AB=AEBE =5-2=3. 重点突破专题构造全等三角形的常用辅助线 1.证明：过点P作PH⊥BA于H,PG⊥BC于G.则∠PHD=∠PGB= ∠PGC=90°.：BP平分∠ABC,PH⊥BA,PG⊥BC,∴.PH=PG.在Rt PDH和Rt△PEG中，PDPE:R△PDH≌Rt△PEG(HL. ∠PDH=∠PEG.,∠PDB+∠PDH=180°，∴.∠PDB+∠PEB=180° 2.证明：在BC上取点F,使BF=BA.连接DF.BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD=7∠ABC=20.∴∠ADB=180-∠A-∠ABD=60 (AB=FB, 在△ABD和△FBD中，{∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△FBD(SAS).. BD=BD, ∠ADB=∠FDB=60°，AD=DF.又AD=DE,∠FDC=180°-∠ADB ∠BDF=60°，∴.DF=DE,∠FDC=∠ADB=∠EDC=60°.在△FCD和 (FD=ED, △ECD中，∠FDC=∠EDC,∴.△FCD≌△ECD(SAS).∴.EC=FC.∴.BC DC=DC, =BF+CF=BA十EC.3.(1)证明：延长AD至E,使ED=AD,连接CE ,AD是△ABC的中线，.BD=CD.在△ABD和△ECD中， (BD=CD. ∠ADB=∠EDC,.△ABD≌△ECD(SAS)..AB=EC.在△ACE中， LAD-ED. AC+EC>AE,.AC+AB>2AD;(2)在△ACE中，AC-CE<AE<AC +CE.AC-AB<2AD<AC+ABA5.<AD<6 4.证明：延长CE至F,使EF=CE,连接DF..CE是△ACD的中线，∴.AE (AE=DE, =DE.在△ACE和△DFE中，{∠AEC=∠DEF,.△ACE≌△DFE CE=FE, (SAS)..∠A=∠ADF,AC=DF.∴.AC∥DF.∴.∠CDF=180°-∠ACD. ∠BDC=180°-∠ADC,∠ACD=∠ADC,.∠CDF=∠BDC.,BD= (CD=CD. AC,AC=DF,.DF=BD.在△BCD和△FCD中，∠BDC=∠CDF,. BD=FD, △BCD2△FCD(SAS).∴BC=CF=2CE,即CE=2BC.5.解：【初步探 索】EF=BE十DF【拓展延伸】上述结论仍然成立，理由如下：延长FD至 H,使DH=BE,连接AH.:∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADH= (AB=AD 180°，∠B=∠ADH.在△ABE和△ADH中，∠B=∠ADH,∴.△ABE BE=DH ≌△ADH(SAS).∴∠BAE=∠DAH