第12章 模型构建专题 全等三角形的基本模型-【名师学案】2023-2024学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

模型构建专题 全等三角形的基本模型 模型一 平移模型 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、 模型 A5 解题 垂直、对顶角等条件得对应角相等；(2) 展示 思路 找公共边、中点、相等边、线段的和差等 模型 沿某一直线(BC)平移，其中一个三角形 条件得对应边相等， 特点 可与另一个三角形完全重合(BE=CF) 2.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C,AE=AF, 证明两三角形全等的关键： 解题 BE交AC于M,CF交AB于N.求证： (1)加（减）共线部分，得对应边相等； 思路 (1)∠1=∠2： (2)利用平行线性质找对应角相等 (2)△ACN≌△ABM. 1.(2022·乐山改编)如图，B是线段AC的中 点，AD∥BE,BD∥CE. (1)求证：△ABD≌△BCE: (2)若AB=6,∠D=62°，BC的长是 ∠E的度数是 模型二 对称模型 有公 凶 模型三 旋转模型 共边 模型 模型 展示 展示 A在闪八 有公共 顶点 模型 绕公共的顶点旋转两个三角形全等 特点 所给图形沿公共边所在直线或者经过 模型 解题 加（减）共顶点的公共角得一组对应角 公共顶，点的某条直线折叠，两个三角形 特点 思路 相等 能完全重合 助学助教优质高数32 3.(2023·武汉模拟)如图，在△ABC和△DEC 中，AB=DE,AC=DC,CE=CB.点E在边 AB上，∠ECB=26°，AC与DE交于点O. (1)求证：∠A=∠D: (2)求∠AED的度数. 模型五一线三等角（不含直角）】 模型解读 一般通过一线三等角找等角或进行角度 转换，证三角形全等时必须满足一组边相等这 个条件.常见基本图形如下： (1)两个三角形在直线同侧，点P在线段AB 上，已知：∠1=∠2=∠3，AP=BD 模型四三垂直模型 3> 模型解读 乾俏一线三警销 纯角一线三等角 在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两 结论：△CAP≌△PBD. 个直角三角形中一组角相等，再加上一组对应 (2)两个三角形在直线异侧，点P在AB(或 边相等，证两个三角形全等 BA)的延长线上，已知：∠1=∠2=∠3， CP=PD. 4.如图①所示，在△ABC中，∠ACB=90°， B 27 AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN, AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N. 锐角一线三竿角 纯角一线三等角 (1)线段AM,BN与MN的关系是 结论：△CAP≌△PBD. ； 5.如图，点K在AB边上，M,N分别在AP,BP (2)如图②，若过点C作直线MN与线段AB 上，∠A=∠B=∠MKN,AM=BK,若MK 相交，AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点 =4,求NK的长. N.(1)中的结论是否仍然成立？请说明 理由。 33 八年级数学·上册基础练 1.C2.(1)直角CD ED ED EF Rt△ABC(2)证明：∠ACB= ∠CFE=90°，.∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中， IAB=DE:R△ACB≌Rt△DPE(HI),AC=DF,AC-AF=DF- BC=EF, AF,即AD=CF.3.D4.证明：，AE⊥BC,DF⊥BC,.∠AEC= ∠DFB=90°.BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△AEC和 AE=DF, △DFB中，∠AEC=∠DFB,∴.△AEC≌△DFB(SAS).∴.∠C=∠B. CE=BF, AC∥BD.5.8或166.B7.48.30°=9.证明：.AD⊥BD,AC⊥ AD=BC,. BC,∠ADB=∠ACB=9O.在R△ADB和R△BCA中，AB=BA, Rt△ADB≌Rt△BCA(HL),∴.∠DAB=∠CBA.,'CE⊥AB,DF⊥AB, ∠DAB=∠CBA, ∠DFA=∠CEB=90°.在△ADF和△BCE中，∠AFD=∠CEB,. AD=BC. △ADF≌△BCE(AAS)..CE=DF.10.解：(1)过点P作PM⊥x轴于点 M,PN⊥y轴于点N,.∠PMA=∠PNB=90°.P(2,2),∴.PM=PN= 2在R△AMP和R△BNP中，PA-PRR△AMP②RL△BNP (HL).∴.∠APM=∠BPN,∴.∠APB=∠APM+∠BPM=∠BPN+ ∠BPM=∠MPN=90°，.PA⊥PB;(2)(0,-4);(3)OA-OB=(OM +MA)-(BN-ON)=OM+ON=4;(4)OA+OB=4. 模型构建专题全等三角形的基本模型 1.证明：(1)：点B为线段AC的中点，∴AB=BC.,AD∥BE,∴∠A= ∠EBC.·BD∥CE,.∠C=∠DBA.在△ABD与△BCE中， ∠A=∠EBC, AB=BC, .△ABD2△BCE(ASA).(2)662°2.证明：(1)在 ∠DBA=∠C, ∠E=∠F, △