第09讲 6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的应用举例（知识清单+4类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第09讲 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 课程标准 学习目标 ①.能用向量方法解决简单的几何问题。 ②.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题。 ③体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力。 1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题； 2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题； 3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力，提升数学核心素养.； 知识点01：平面几何中的向量方法 （1）向量在平面几何中的应用 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤求模：； ； ⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). （2）用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 知识点02：向量在物理中的应用举例 向量的定义有着丰富的物理背景,物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量,力所做的功就是向量的数量积的物理背景,因此,向量可以解决一些物理问题归纳. （1）力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； ②向量是既有大小又有方向的量,表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. （2）速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. ①向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决物理问题,最后获得物理结果. ②用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘,有时也可借助坐标来求解. （3）功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力与位移的数量积,即(为与的夹角).功是一个标量,它可正,也可负.动量实际上是数乘向量. 在解决问题时要注意数形结合 （4）利用向量法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题. ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 【即学即练2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 【答案】答案见解析 【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力， 且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角， 则重力对物体做的功， 支持力与位移方向垂直，做功为， 摩擦力与位移方向相反，对物体做功 ．    题型01 利用向量解决平面几何中的平行（共线）问题 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在四边形中，若，且，则四边形是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．菱形 【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【变式1】（2023上·山东泰安·高二校考开学考试）在四边形中，，则四边形的形状是 . 题型02 利用向量解决垂直问题 【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【典例2】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三