专题提升 全等三角形-【学力水平 快乐寒假】2024年春八年级数学寒假作业(人教版)

学力水平快乐假期 寒假 :专题提升 全等三角形 全等三角形是平面几何的基础，是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解 决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关 系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题 利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形.实质上，这 对基础的三角形是由满足三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三 角形组成.其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下三类基本图形，如图 所示： 以上第(1)组图形有公共边的特点；第(2)组图形有公共角或对顶角的特，点：第(3)组图形 有一线四点或一点四线的特点，要把不是三角形的边和角转化为三角形的边和角. 本节中，利用全等三角形，证明了两个重要的定理： (1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. (2)角平分线上的，点到角两边的距离相等 例1如图所示，BD是△ABC的中线，CE⊥BD,垂足为E,AF⊥BD,交BD的延长线 于F 求证：BE+BF=2BD. 口月☐日星期☐天气◇ 数学八年级 分析：图中有明显的全等三角形存在，不妨运用 证明：，BD为△ABC的中线， ..AD=CD. ,CE⊥BD于E,AF⊥BD于F, ∴.∠F=∠CED=90°. ∠F=∠CED, 在△AFD和△CED中，∠ADF=∠CDE, AD=CD, ∴.△AFD≌△CED(AAS), ∴.DE=DF .BE+BF=(BD-DE)+(BD+DF)=2BD, 即BE+BF=2BD 回味：BE=BD一DE,BF=BD十DF,只需证明DE=DF即可. 联想：D为线段EF的中，点，DE=DF=a. 若B为线段EF上的任意一点，取BD=b,则BE·BF=a一b; 若B为线段EF延长线上任意一点，取BD=b,则BE·BF=b一a. BE·BF正好为关于a,b的平方差，在几何中含有代数，感觉不错吧. 例2在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥ MN于E (I)当直线MN绕点C旋转到图①位置时，求证：DE=AD十BE. (2)当直线MN绕点C旋转到图②位置时，试问：DE,AD,BE有怎样的等量关系？请写 出这个等量关系，并加以证明. ① 分析：对于(1)，由于DE=CD十CE,要证明DE=AD+BE,最好能先证明CD=BE, CE=AD,而这可以通过证明△ADC≌△CEB得到： (2)只要证明△ACD2△CBE,可得AD=CE,CD=BE,即可推出AD=CD十DE BE+DE. 学力水平快乐假期「寒假 (1)证明：.在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 由AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,有∠ADC=∠BEC=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°， .∠ACD=∠CBE. 又，AC=BC .△ADC≌△CEB(AAS), 2 ∴.AD=CE,BE=CD, .DE=DC+CE=BE+AD (2)解：结论：AD=BE十DE.证明如下： ,AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ADC=∠BEC=90°，∠BCD+∠CBE=90. :∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCD=90°， .∠ACD=∠CBE 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠CBE, AC=BC, .△ACD≌△CBE(AAS). ..AD=CE,CD=BE. ∴.AD=CD+DE=BE+DE 回味：我们从本题中可提炼出如下两个关于角相等的基本图形： B ① ∠BAD=90°， (1)如图①所示， →∠DAE=∠ABC; BC⊥AC |∠ACB=90°，I∠ACD=∠B. (2)如图②所示， CD⊥AB ∠BCD=∠A. 小结：对于一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，利用基本图形发现有用 的条件，进而判断推出其他三角形全等， 口月口日星期☐天气今 数学八年级 当要证明的式子或已知的式子线段比较分散时，常通过构造全等三角形，把相关线段集中 起来，利用等量代换得出结果： 对于实际逼到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三 角形通过平行移动、翻折、旋转等方法得到，这种改变位置、不改变形状大小的图形变动叫三角 形的全等变换， SSS,SAS,ASA,AAS中，最容易用错的是SAS,两边非夹角不可. 自主训练 1.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的 角的关系是 ( A.相等 B.互余 C.相等或互补 D.不相等 2.在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,DE⊥AB于点E,SAABC=32cm,AB =18cm,BC=14cm,则DE= 3.在△ABC中，H是高A