专题提升 等腰三角形的判定-【学力水平 快乐寒假】2024年春八年级数学寒假作业(人教版)

门 月□日星期☐天气> 最 数学八年级 机：专题提升 等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 简称：在一个三角形中，等角对等边. 同时，在一个三角形中，较大角所对的边较长 关于等边三角形： 三个内角都相等的三角形是等边三角形. 有一个内角是60的等腰三角形是等边三角形. 由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们判断等腰三角形提供了新的理论依据. 判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是： (1)从定义入手，证明一个三角形的两条边相等： (2)从角入手，证明一个三角形的两个角相等. 在实际解题中的一个常用技巧是构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题 服务， 常用的构造方法有： (1)用“垂直平分线”“角平分线十垂线”构造等腰三角形，如图①、图②所示. ② (2)用“三角形的外角等于不相邻的一个内角的2倍关系”构造等腰三角形，如图③、图④ 所示 ③ ④ (3)用“角平分线十平行线”构造等腰三角形，如图⑤、图⑥、图⑦所示. ⑤ ⑥ ⑦ 在一个图形中，如果有角平分线、平行线、等腰三角形其中的任意两项成立，一般可以发现 第三项也在图中，“角平分线十平行线”是构造等腰三角形的常见运用. 学力水平快乐假期「寒假 思考：(I)如图①，CD,BD分别是∠ACB,∠ABC的平分线，EF经过点D,且EF∥BC,写 出线段CF,BE,EF之间的数量关系： (2)如图②，CD,AD分别是∠ACB,∠BAC处的外角的平分线，EF经过点D,且EF∥ AC,写出线段CF,AE,EF之间的数量关系： (3)如图③，BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB处的外角的平分线，DE∥BC,写出线 段BE,CF,EF之间的数量关系： ② ③ 例 在△ABC中，AB=AC,∠ABC>60°，∠ABD=60,且∠ADB=90°-2∠BDC.试 猜想AC,BD,DC三者之间的大小关系，并证明你的结论. 解：结论：AC=BD十DC证明如下： 方法一：以AD为轴作△ABD的对称图形△ABD,如图(1). A =B (1) 则B'D=BD,AB'=AB=AC. :∠B=∠ABD=60,∠ADB'=∠ADB=90°-2∠BDC, ∴.∠ADB'+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°， .C,D,B在同一条直线上， ☐月口日星期☐天气> 余 数学八年级 ∴.△ACB'是等边三角形， ..AC=B'C=CD+B'D=CD+BD. 方法二：延长BD至E,使DC=DE,连接CE,AE,如图(2). :∠ADB=90°-3∠BDC. ∠ADE=180°-∠ADB=180°-(90-2∠BDC)=90°+ 2∠BDC 1 (2) 又：∠ADC=∠ADB+∠BDC=9O°-2∠BDC+∠BDC=90+2∠BDC, ∴.∠ADC=∠ADE. 又AD=AD,DC=DE,.△ADC≌△ADE, ∴.AC=AE .AB=AC..'.AB=AE. .∠ABD=60°， ∴.△ABE是等边三角形，BE=AC=BD十DE=BD十CD, ∴.AC=BD+DC. 小结：构造等腰三角形的常用方法有： (1)利用“三角形的外角等于不相邻的一个内角的2倍关系”构造： (2)利用“平行线十角平分线”构造： (3)利用“垂线十中线”构造： (4)利用“角平分线十垂线”构造： (5)利用“角平分线十中线”构造. 自主训练 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的点，作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长 线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC.有下列结论：①∠DCB=∠B:②△ADC是等边三角 形：③若∠E=30°，则DE=EF十CF.其中正确的有 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 学力水平快乐假期寒假 2.如图所示，已知点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，且OD∥AB,OE∥AC. (1)图中共有几个等腰三角形？请选一个进行证明， (2)若BC=12cm,求△ODE的周长. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,在AC上取点E,在AB的延长线上取点D,使BD=EC,连接 DE交BC于点F.求证：DF=EF. D 回味：探索本题多种证明方法，添加“平行线”，构造全等三角形，从而成功转移线段.数学八年级 .·BH=AC,∠ADC=∠BDH,∠C ∴.AC=AC1,∠BAC=∠B1AC1,∠BCA =∠BHD. =∠B1C1A1 .△HBD≌△CAD, AD=AD.CD=CID ∴.AD=BD .△ADC≌△A1D1C1(SSS) ..∠ABD=45°，∠ABC=135. .∠D=∠D1,∠DAC=∠D1AC,∠ACD 故∠ABC的度数为45°或135. =∠ACD1, 4.(1)590°210° .∠BAD=∠BAD,∠BCD=∠