（新课衔接）专题05 平方根和立方根-2023-2024学年七年级数学上学期寒假学习精讲练（人教版）

2023-2024学年人教版数学七年级寒假学习精讲练讲义 专题05 平方根和立方根 1.掌握算术平方根的意义和求法以及实际应用，并会用算术平方根解决实际问题．进一步理解算术平方根的意义，会计算一个非负数的算术平方根．掌握平方根的概念，理解平方根和算术平方根的区别和联系．理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系． 2.了解开立方与立方运算互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根．能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．熟练地进行求一个数的立方根的运算．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 重点：算术平方根的意义和求法．探究的大小确定一个无理数的整数部分和小数部分．立方根的概念和求法． 难点：运用算术平方根解决一些简单的实际问题．探究的大小确定一个无理数的整数部分和小数部分，以及确定其在哪两个连续整数之间． 1．算术平方根 （1）定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________． （2）表示方法 a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=__________； ③负数__________算术平方根． ④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0． 2．平方根 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根． 【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0． （2）平方根的性质 ①一个正数a有__________个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根． （3）开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做__________． （4）利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解． 3．平方根与算术平方根的区别 （1）定义不同； （2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示； （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负． 4．立方根的概念和性质 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 5．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0； ②； ③=a． （3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根． 6．平方根和立方根的区别和联系 1．被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． 2．运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 知识点01：平方根 【典例讲解】（2023秋•滨州期中）求下列各式中x的值． （1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64． 【思路点拨】运用平方根知识进行求解． 【规范解答】解：（1）移项，得x2＝25， 开平方，得x＝±5； （2）开平方，得x﹣1＝±8， 解得x＝9或x＝﹣7． 【考点剖析】此题考查了运用平方根解方程的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【变式训练1-1】（2023秋•佛山期末）64的平方根是（　　） A．±8 B．﹣8 C．8 D．±16 【变式训练1-2】（2023秋•内江期末）下列说法正确的是（　　） A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．﹣10是100的一个平方根 D．﹣1的平方根是﹣1 【变式训练1-3】（2023春•惠东县期中）一个正数x的两个平方根分别是﹣a+2与2a﹣1，求a和正数x的值． 知识点02：算术平方根 【