数学文化 分形几何-【学力水平 快乐寒假】2024年春九年级数学寒假作业(人教版)

学力水平快乐假期 寒假 ,数学文化 分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数，比如，零雏的点、一 维的线、二维的面、三维的立体乃至四雏的时空.最近十几年来，产生了新 兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是 几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注 分形几何的产生 系 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至 具有无穷层次.适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变.不少复杂的 物理现象，就是反映出这类层次结构的分形几何学， 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量，用尺来测量万里长城，嫌太短；用 尺来测量大肠杆菌，又嫌太长.从而产生了特征长度.还有的事物没有特征尺度，就必须同时考 虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题 如物理学中的湍流，湍流是自然界中的普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，大至木星大气 中的涡流，都是十分紊乱的流体运动，流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多多尺度 上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助 “无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学 在20世纪70年代，法国数学家曼德尔·勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多 长？这个问题依赖于测量时所使用的尺度 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略：改用米来做单位，测得的 总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来.由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界 线具有各种层次的不规则性.海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个 突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界，使用比这更长的尺度是没有意 义的.还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的，在这两个自然 限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用 分维. 数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲 线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大，以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征 量，即海岸线的分雏均介于1到2之间. ☐月口日星期☐天气今绿 九年级数学 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分 布，就具有分维的吸引子，多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象. 这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学 电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门.这座具有无穷层次结构的宏伟建 筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。 法国数学家曼德尔·勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生起到了重大的 推动作用.他在1975年、1977年和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形一 形、机遇和雏数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支一分形几何学， 系 分形几何学的内容 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与 整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为 自相似性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断 分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场.这种自相似的层次结构，适当的放大或缩 小几何尺寸，整个结构不变， 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目.在 欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维的，而把直线或曲线看成一维的. 也可以精加推广，认为，点是零维的，还可以引入高雏空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个 局部可以和欧氏空间对应，也容易确定雏数.但通常人们习惯于整数的维数： 分形理论认为维数也可以是分数，这类雏数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引 入的重要概念.为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了 维数概念，将雏数从整数扩大到分敏，从而突破了一般拓扑集雏数为整数的界限. 维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念. 当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷 多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面，那么，用怎样的尺“ 度来量它才会得到有限值呢？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这 里直线的维数为1（大于0、小于2）. 对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线 段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与 “寇赫岛”曲线维数相同的尺子量