精品解析：上海市育才中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

高二数学第一学期期末考试 一．填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知直线过点、，则直线倾斜角大小为__________. 2. 已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为__________. 3. 直线与直线夹角大小为__________. 4. 已知、，则以为直径的圆的标准方程为__________. 5. 已知棱长为正四面体中，为中点，则__________. 6. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________. 7. 已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为__________. 8. ，，则在方向上的数量投影为__________. 9. 已知抛物线，直线，则直线被抛物线截得的弦长为__________. 10. 在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为__________. 11. 某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　 . 12. 已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则=__________. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一支 D. 抛物线 14. “”是“直线与直线平行”的（ ）条件 A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（ ）个值为定值 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知坐标满足方程点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ） A. 曲线C上的点的坐标都适合方程 B. 不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 C. 凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上 D. 不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 三、解答题 17. 已知圆． （1）求直线被圆截得弦长； （2）已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程． 18. 已知、，点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值． 19. 已知正四棱柱，底面边长为1，高为2，P为BC的中点，求： （1）直线与平面所成角大小； （2）点P到平面的距离． 20. 已知双曲线中，离心率为，且经过点． （1）求双曲线方程； （2）若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； （3）过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 21. 已知抛物线方程为，M为直线上任意一点，过作M抛物线的切线，切点分别为A、B． （1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （2）已知当M坐标为时，，求此时抛物线方程； （3）已知点C满足（O为坐标原点），是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上．若存在，求出所有适合题意的点M坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学第一学期期末考试 一．填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知直线过点、，则直线倾斜角大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则，，故. 故答案为：. 2. 已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，直线与直线平行，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的一般方程. 【详解】因为，所以，点不在直线上， 又因为直线与直线具有相同的法向量，且直线过点， 则直线与直线平行， 设直线的方程为，则，解得， 所以，直线的一般方程为. 故答案为：. 3. 直线与直线的夹角大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，设其倾斜角为， 则，由于，故， 而直线与轴垂直，故直线与直线的夹角为， 故答案为： 4. 已知、，则以为直径的圆的标准方程为_____