专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【六大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 向量坐标的线性运算解决几何问题 1．（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. (1)若 ，，三点共线，求实数的值； (2)若四边形为菱形，求的值. 2．（2023下·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知点，，及. (1)若点P在第一象限，求t的取值范围； (2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 3．（2023下·广西南宁·高一校考阶段练习）已知平行四边形中，． (1)求点D的坐标； (2)设向量与夹角为，求的值； (3)求平行四边形的面积． 4．（2023下·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，记，． (1)设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； (2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 5．（2023·全国·高一专题练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 题型二 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 用向量证明线段垂直 6．（2023下·宁夏银川·高一校考期中）在中，分别为边上的点，且.设.    (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 7．（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 8．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 9．（2023·高一课时练习）如图，在中，BC、CA、AB的长分别为. （1）求证：； （2）若，试证明为直角三角形. 10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．    （1）求的值； （2）用，表示和； （3）证明：． 题型三 用向量解决几何中的夹角问题 11．（2023下·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 12．（2023下·湖南常德·高一校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 13．（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点. (1)求线段，的长； (2)求的余弦值. 14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求的正弦值； (2)求的余弦值． 15．（2023下·安徽蚌埠·高一统考期末）如图，在中，，．点D在边BC上，且． (1)，，求； (2)，AD恰为BC边上的高，求角A； (3)，求t的取值范围． 题型四 用向量解决线段的长度问题 16．（2023下·四川成都·高一石室中学校考期中）如图，已知中，，，，点是的内切圆圆心（即三条内角平分线的交点），直线与交于点.    (1)设，求和的值； (2)求线段的长. 17．（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 18．（2023下·广东广州·高一校考期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 19．（2023·全国·高一专题练习）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：. 20．（2023·全国·高一专题练习）若分别是平面四边形的边的中点. （1）求的值； （2）证明：四边形为平行四边形. 题型五 向量与几何最值（范围）问题 21．（2023下·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 22．（2023下·四川成都