专题5.2 利用导数研究函数的极值与最值（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.2 利用导数研究函数的极值与最值 【考点1：求已知函数的极值】 1 【考点2：由函数的极值点或极值求参】 4 【考点3：利用导数求已知函数的最值】 5 【考点4：已知函数的最值求参】 7 【考点1：求已知函数的极值】 【知识点：求已知函数的极值】 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [方法技巧]　　　利用导数求函数极值的步骤 1．（2024上·陕西榆林·高二统考期末）已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）函数的极大值是 ． 3．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为 . 4．（多选）（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）关于函数，下列语句正确的是（    ） A．的极大值等于 B．的极小值等于 C．的单调递减区间是 D．的单调递增区间是 5．（多选）（2023上·山西大同·高三统考期末）已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024上·广东深圳·高二校考期末）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 7．（2024·河南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直． (1)求； (2)求的单调区间和极值． 8．（2023上·江苏·高二专题练习）已知函数在处有极值. (1)求、的值； (2)求出的单调区间，并求极值. 【考点2：由函数的极值点或极值求参】 【知识点：由函数的极值点或极值求参】 [方法技巧] 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．　 1．（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024上·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）若函数存在极值点，则实数a的取值范围为 ． 7．（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求a-b= 8．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是 . 【考点3：利用导数求已知函数的最值】 【知识点：利用导数求已知函数的最值】 函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： [方法技巧] 利用导数求函数在某区间上最值的规律 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到