数学思想专题 与有理数的运算有关的数学思想-【名师学案】2023-2024学年七年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

数学思想专题 与有理数的运算有关的数学思想 类型一数形结合思想 【例3】(2022·安顺期末)若a,b是有理数，定义 思想概述 一种新运算①：a⊕b=2ab十1. 有理数的相关概念及大小比较，可以利用数轴来 解决，借助数轴，可以把有理数表示在数轴上，将抽象 例如：（一3）⊕4=2×(-3)×4+1=一23. 的数直观地体现出来，这种把数与图形结合起来研究 试计算： 的思想就是数形结合思想，应用数形结合思想可以使 (1)3⊕(-5). 问题形象化，更有利于解决问题。 (2)[3⊕(-5)]⊕(-6). 【例1】(2023·宁波模拟)已知有理数a,b在数 【点拨】直接套用公式列出算式，根据实数的混合运算 轴上如图所示，则下列式子错误的是 () 解答 A.a+b<0 B8<0 C.la>b D.-a<b 【点拨】借助数轴可知a<0<b,且a>bl,然后利用有理 数的加法和除法法则及绝对值、相反数的定义解答， 【针对训练】 【针对训练】 3.阅读材料，解决下列问题： 1.已知：A,B,C都在同一条数轴上，点A表示 【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫 一3，B和C位于原点的两侧并且到原点的距 做乘方，记为a".若10"=m(n>0,m≠1，m> 离相等，又知点B和点A相距5个单位长 0),则n叫做以10为底m的对数，记作：lgm 度，则点C表示的数是 =n.如：10=10000，此时，4叫做以10为底 类型二分类讨论思想 思想概述 10000的对数，记作：1g10000=lg10=4,（规 某些数学问題在求解时会有多种情况，需要对各 定1g10=1). 种情况分类讨论，逐类求解，这就是分类讨论思想，应 【解决问题】 用分类讨论思想应注意两个问题：一是每次分类要按 (1)计算：lg100= ；lg1000= 照统一标准进行分类：二是分类时要不重不漏。 1g100000= :lg1020= 【例2】若有理数u,b满足ab≠0，则以+的 (2)计算：lg10+lg100+lg1000+…+lg101°； 值为 【拓展应用】 【点拨】分情况讨论与b的正负，利用绝对值的意义解答 (3)由(1)知：lg100+lg1000与lg100000之间 【针对训练】 的数量关系为： 2.已知|x=5,|y=3.若xy<0,则x一y的值 是 猜想：lga十lgb= (a>0,b>0). 类型三类比思想 思想概述 类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或 相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似 在解决某些问题时，我们可以借助类比的思想，从而 达到启发思路的目的， 助学助教优质高数50基础练 1.B2.C3.(1)解：原式=-2.4×10；(2)解：原式=3.80123×10.4.4.772× 1015.D6.(1)3500000(2)-80000(3)-712.37.B8.5或69.解：3.5× 24×365=30660=3.066×10答：一个水龙头1年可以流掉3.066×10kg水. 1.5.3近似数 知识储备 1.近似数2.精确度 基础练 1.D2.(1)十分位0.1(2)①百分②十分3.C4.B5.C6.C7.B8.2.304 2.2959.解：(1)个位；(2)千分位：(3)百万位：(4)万位.10.解：有可能.注意题中的 “约”字，比如甲身高174cm,乙身高165cm.174-165=9(cm). 素养提升专题与有理数的混合运算相关的新定义问题 1.解：(1)10V0=10×|0|=0;10V(-3)=10×-3|=30;(2)27(-2y)=2×-2yl= -4y;(3)若a=5,x=3,y=-2.a7(x+y)=5×|3+(-2)1=5×1=5,aVx十a7y=5 ×|3|+5×|-2|=25≠5，故a7(r十y)=a7x+a7y不成立.2.解：由题意，得2-3 +4+(-5)+6-7=-3.3.解：2*(-3)=2×2-3×(-3)-1=12；[2*(-3)]* (-4)=12×(-4)=12×2-3×(-4)-1=24+12-1=35.4.解：(1)(-2)※3=(-2 +3)÷[1-(-2)×3]=7:2)[3※(-2)]※6={[3+(-2)]÷[1-3×(-2)]}※6= 号※6=（号+6）÷(1-7×6）=43.5.解：1）(-4)#3=(-4)-(-4)×3=28： (2)[(-2)#(-3)]#(-4)=[(-2)2-(-2)×(-3)]#(-4)=(-2)#(-4)=( 2)2-(-2)×(-4)=-4. 数学思想专题与有理数的运算有关的数学思想 【例1】D【例2】0或2或一2【例3】解：(1)根据题意可得：原式=2×3×（一5）十1= 一30+1=-29：(2)根据题意可得：原式=2×(-29)×(-6)十1