冲刺2024年数学高考专题特训：立体几何初步

冲刺2024年数学高考专题特训：立体几何初步 一、选择题 1．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 2．若平面，截球所得截面圆的面积分别为，，且球心到平面的距离为3，则球心到平面的距离为（　　） A． B．2 C． D．4 3．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（　　） A． B． C． D． 4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（　　） A．16 B． C． D．21 5．在正三棱柱中，所有棱长均为2，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱的所有棱长都为2，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与该球体积的比为（　　） A． B． C． D． 7．在长方体中，已知，，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（　　） A．直线为异面直线 B． C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9 10．在正方体中，与交于点，则（　　） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 11． 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到的距离分别为，则（　　） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体棱长为 12．如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（　　） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到距离为 C．直线与平面平行 D．三棱锥的体积为 三、填空题 13．四面体的棱长只能是1或3，但该四面体不是正四面体，则该四面体的体积最大值为　 　． 14．已知侧面积为的圆锥内接于球O，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为，则球O的表面积为　 　. 15．在棱长为的正方体中，是底面内动点，且平面，当最大时，三棱锥的体积为　 　． 16．已知梯形满足且，其中，将梯形绕边旋转一周，所得到几何体的体积为　 　． 四、解答题 17．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点． （1）证明：E，F，D，B四点共面． （2）证明：BE，DF，三线共点． 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求平面BPD与平面夹角的余弦值. 19．如图所示，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，． （1）求证：平面BCF； （2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角为． 20．如图，正四棱柱中，M为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 21．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面. （1）求证：； （2）若为中点，求证：平面； （3）在线段上（含端点）是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值？若不存在，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】B,C 10．【答案】A,B,C 11．【答案】A,B,D 12．【答案】A,C,D 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】（1）解：如图，连接EF，BD，． ∵EF是的中位线， ∴． ∵与平行且相等， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴E，F，D，B四点共面． （2）解：∵，且， ∴直线BE和DF相交． 延长BE，DF，设它们相交于点P， ∵直线BE，直线B平面， ∴平面， ∴直线DF，直线