第03讲 复数的三角表示（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第03讲 复数的三角表示 考点1：复数的三角形式 复数三角式的特征 (1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cos θ与isin θ之间用“＋”号连接． 复数代数形式表示成三角形式的方法 先由复数确定点(a，b)所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限，然后由tan θ＝确定θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．　　　　 考点2:复数三角形式的相关概念 辐角和辐角主值 辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个． 联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 考点3 复数的三角形式乘除法运算及几何意义 （1）乘法运算及几何意义 复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2 注意：涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围．　 （2）复数的三角形式除法运算及几何意义 复数z1，z2对应的向量为，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商. 【题型1 复数的三角表示】 【典例1】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】把复数化三角形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 【变式1-3】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】将复数化为三角形式： ． 【变式1-5】把下列复数化为三角形式． (1)5 (2)； (3)； (4)． 【题型2 复数的辅角】 【典例2】写出下列复数的辐角的主值 (1)-4 (2) (3) (4) 【变式2-1】复数的辐角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】的辐角主值为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】求复数的辐角的主值为 . 【变式2-4】复数的辐角主值是 ． 【变式2-5】（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【题型3 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【变式3-1】（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 【变化3-3】计算： (1)； (2). 一、单选题 1．若复数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．若复数z满足（为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．复数化成三角形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 二、多选题 6．下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）下列复数的三角形式正确的有（    ） A． B． C． D． 8．以下不是复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 9．如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（    ） A．辐角唯一 B．辐角主值唯一 C．辐角主值为 D．辐角主值为 三、填空题 10．已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 11．已知复数的模为2，辐角为，则 ． 12．复数的三角形式为 ． 四、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3) (4) 14．求复数的辐角主值． 15．把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量． (1)6； (2)； (3)； (4)． 16．求下列复数的模和辐角主值. (1)； (2). 17．计算下列各式： (1)； (2) ； (3)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第