第01讲 复数的概念（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第01讲 复数的概念 考点1：复数的基本概念 1、虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或 2、复数的概念 （1）定义：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做，b叫做。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： ①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2）分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数?b＝0 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0 考点2：复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知求的值 考点3:共轭复数 与共轭 的共轭复数记作，且 考点4：复数的几何意义 1.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2.复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数。 3.复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即， 若，，则表示到的距离，即 【题型1 实部虚部的辨析】 【典例1】写出复数4，，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 【变式1-1】若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 【变式1-2】若复数满足，则的虚部是（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-3】求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 【题型2 复数的分类】 【典例2】实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【变式2-1】当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【变式2-2】求实数的值，使得复数分别是： (1)实数； (2)纯虚数． 【变式2-3】实数m取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【题型3 复数的几何意义---复平面】 【典例3】在复平面内作出表示下列复数的点： (1)； (2)； (3)； (4)5． 【变式3-1】复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)3； (6)； (7)； (8). 【变式3-3】在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量： (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5). (5) 【典例4】已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围. 【变式4-1】】已知复数，根据以下条件分别求实数m的值或取值范围． (1)是纯虚数； (2)对应的点在复平面的第三象限． 【变式4-2】已知复数，mR，其中i为虚数单位． (1)若z是实数，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围． 【题型4 复数的几何意义--模长】 【典例5】分别求出复数，，，，4i，的模． 【变式5-1】求复数的模，并比较它们的模的大小． 【变式5-2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求： (1)对应的复数； (2)对应的复数； (3)对应的复数及的长度． 【变式5-3】复数，，试比较与的大小． 一、单选题 1．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，复平面内点所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（    ） A． B． C． D． 3．已知复数（是虚数单位），则为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 6．已知复数在复平面内对应的点在实轴上，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 7．设复数，则的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．