10.4.1古典概型、概率的基本性质 讲义-2024届高三数学一轮复习

古典概型、概率的基本性质 一、学习目标 1.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 2.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 二、知识梳理 1.古典概型 （1）定义：具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 有限性：样本空间的样本点只有 ； 等可能性：每个样本点发生的可能性 . （2）计算公式:一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件 的概率 ，其中 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数. 2.概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： （1）对任意的事件 ,都有 . （2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 ， . （3）如果事件 与事件 互斥，那么 . （4）如果事件 与事件 互为对立事件，那么 , . （5）如果 ,那么 . （6）设 , 是一个随机试验中的两个事件，则 知识拓展 若事件 ， ， ， 两两互斥，则 . 三、典例探究 例1 设 为正方形 的中心，在,,,, 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( ) A. B. C. D. 方法感悟 求古典概型概率的步骤 （1）求出样本空间 包含的样本点个数 ; （2）求出事件 包含的样本点个数 ; （3）代入公式求出概率P. 迁移应用 变式：五一期间，某个家庭（一共四个大人，三个小孩）去旅游，在某景点站成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是多少？ 例2: 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 、 、 ，求：（1） 1张奖券中奖的概率； （2） 1张奖券既不中特等奖也不中一等奖的概率. 方法感悟 复杂事件概率的求解方法:（1）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些简单事件两两互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. （2）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率得所求概率. 四、课堂练习 1. （多选题）下列问题中是古典概型的是( ) A. 小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率 B. 从甲地到乙地共 条路线，且这 条路线长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率 C. 在区间 上任取一个数，求这个数大于2的概率 D. 同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上点数之和是5的概率 2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三位同学打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是( ) A. B. C. D. 4.我国古代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长（单位：尺）依次构成一个等差数列.已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，则至少有一个节气的日影长大于9尺的概率为( ) A. B. C. D. 〔 5. 袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( ) A. B. C. D. 6. 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2, , ，则该射手在一次射击中射中不足8环的概率为( ) A. B. C. D. 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A. B. C. D. 8. 已知 ， ， ,则 9. 一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为 ，两根同时熔断的概率为0.63，若至少有一根熔断的概率不低于0.96，则 .（写出满足条件的一个 的值即可） 10. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩（单位：秒）全部介于13与18之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ， ，第五组 ，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图.若从第一、第五组中随机取出两个成绩，则这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率为多少. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$