2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值 1．如图，二次函数与x轴交于、两点，且与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式． (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点M，交x轴于点N，过点P作轴交BC于点Q，求的最大值及此时P点坐标． (3)将抛物线沿射线平移个单位，平移后得到新抛物线．D是新抛物线对称轴上一动点，在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标． 2．如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点    (1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标； (2)若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．设点的横坐标为． ①求线段的最大值； ②时，求值； 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与轴相交于两点，点的坐标为，与轴相交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴平行线交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后新抛物线对称轴上一点，点为新抛物线上一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C    (1)求抛物线解析式和C点坐标 (2)点P为第一象限抛物线上一点，连接、，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求出S与t的函数关系式（不用写出t的取值范围） (3)点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值. 5．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．    (1)在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； (2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； (3)已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 6．已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接． (1)填空：　 　； (2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值； (3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由． 7．如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且．    (1)求点A、、C的坐标及二次函数解析式； (2)假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求线段的长度； (2)点P为直线下方抛物线上的一动点，且点P在抛物线对称轴左侧，过点P作轴，交于点D，作轴，交抛物线于点E．求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，M为射线上的动点，过点M作轴交新抛物线的对称轴于点F，点N为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P，F，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 9．已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； (2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若，且，求a的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．    (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三