1.3.1函数的单调性与导数教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

《1.3.1函数的单调性与导数》教学设计 （共1课时，第1课时） 【课程标准要求】 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，求单调区间。 【教学目标】 1.探索函数的单调性与导数的关系。 2.掌握用导数研究单调性的方法。 3.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。 【学情与内容分析】 函数单调性是函数的重要性质之一，以往我们是从单调性的定义出发去判断函数在区间上的单调性，但当函数解析式较复杂时，这就困难了，本节课介绍了函数单调性与导数之间的联系，首先通过观察一些具体函数及其导函数的图象，研究这些函数的单调性与它们的导数的正负之间的关系，然后从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般可导函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，最后通过具体例题引导学生利用导数研究函数的单调性.另外，本小节还从导数的角度解释了函数增减快慢的问题.需要注意的是，教材仅以四个函数及其导函数的图象为基础，归纳出函数单调性与其导数的正负性之间的一般结论，但没有进行严格的证明，这是由于《数学课标（2017版）》不要求证明，而且学生也不具备严格证明所需要的基础知识.本节内容是导数在研究函数中的应用的第一节课，也是后面研究函数极值、最值的基础. 【教学准备】希沃课件。 【难重点】 重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系并求单调区间。 难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教学过程】 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 ㈠ 复习引入 复习:函数单调性的定义以及判断函数单调性的方法． 问题:如何判断函数的单调性呢？ 师问生答． 引导学生用定义法去解决一些函数的单调性问题，遇到困难，引出课题． ㈡ 新知探索 给出四组函数及其导函数的图象，分析函数的单调性与它们的导数的正负之间的关系. 实例1.（图1.3-1 ）函数和它的导函数的图象. 实例2.（图1.3-2）函数和它的导函数的图象. 实例3.（图1.3-3（1））函数和它的导函数的图象. 实例4.（图1.3-3（2）） 函数和它的导函数的图象. 问：通过以上实例，你发现函数单调性与其导数正负之间有什么关系呢？ 归纳：函数单调性与其导数正负之间有如下法则：在区间内，如果，那么函数在此区间单调递增；如果，那么函数在此区间单调递减； 观察以上四个函数及其导函数的图象，探讨函数单调性与其导数正负的关系，引导学生尝试概括共同特征. 通过图象，引导学生借助几何直观探索函数单调性与导数正负之间的关系，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度. ㈢ 典例剖析 例1. 用导数研究二次函数的单调性. 例2．求函数的单调区间. 例1的二次函数比较简单，不用导数也能解决. 例2老师板演解题过程，让学生总结求函数单调区间的一般步骤： （1） 求定义域； （2） 求导； （3） 解，解集在定义域内的部分为增区间； （4） 解，解集在定义域内的部分为减区间. 例1让学生感受用导数法来判断函数单调性的普适性. 例2中的三次函数学生并不熟悉，不能很好地画出函数简图，也无法轻松地利用定义法找到单调区间，这时就凸显了导数法的优势. ㈣ 新知探索 问：导数的正负对应函数的增减，导数的绝对值大小和函数的性态又有什么关系呢？ 归纳：函数的导数就是函数值关于自变量的瞬时变化率.变化率的绝对值大说明函数值变得快，绝对值小说明函数值变得慢. 从函数图像上看，导数是切线斜率.斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡；斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些. 师生归纳. 数形结合，回答了由导数绝对值的大小可知函数变化快慢的问题. ㈤ 典例剖析 例3． 如图1.3-4，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转（到OB处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ） 例3是一个蕴含着函数关系且有几何背景的题目，教师引导学生分析变化特点得到正确选项. 例3在没有具体函数表达式的条件下，通过函数的示意图，让学生从运动变化的角度感受函数增减快慢的变化，从而获得直观想象的素养训练. ㈥ 练习巩固 练习1. 函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） 练习2. 用导数判断下列函数的单调性，并求单调区间. （1） ； （2） . 练习3.已知的导函数满足下列条件： （1） 当时，； （2） 当或时，； （3） 当或时，. 试根据上述条件画出函数图象的大致形状. 学生思考并解答. 让学生通过练习加深理解函数的单调性与导数正负的关系并掌握求函数单调区间的一般步骤. ㈦ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容.