圆的方程题型全归纳学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

圆的方程题型全归纳 题型一 两圆的对称问题【解题点拨】 1. 已知圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为 . 2. 与圆C：关于直线对称的圆的方程为 . 题型二 两圆(相交)的公共弦问题【解题点拨】 （1）公共弦所在直线方程的求解：把两圆的方程相减即可； （2）公共弦长的求解：若已知交点坐标，利用两点间距离公式；若已知公共弦方程，利用弦长公式求解. 1．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0和x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在直线的方程为（　　） A．x+2y﹣6＝0 B．x﹣3y+5＝0 C．x﹣2y+6＝0 D．x+3y﹣8＝0 2．圆x2+y2+2x＝0和x2+y2﹣4y＝0的公共弦的长度为（　　） A． B． C． D． 3．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆C2:，则圆C1，C2的公共弦长为（　 ） A． B． C． D．2 题型三 圆的切线方程【解题点拨】判断点P是否在圆上 (1)当点P在圆上时，有1条切线，利用 ，则切线l的方程为 . (2)当点P在圆外时，有2条切线，设切线方程为 ，利用 ， 特别地，若只求出一个方程时，另一条切线方程为 . 1. 过点作圆C：的切线l，则切线的方程为 . 2．过点A（﹣5，﹣1）的直线l与圆（x+3）2+（y﹣5）2＝4相切，则直线l的方程为（　　） A．y＝﹣1或4x+3y+23＝0 B．y＝﹣1或4x﹣3y+17＝0 C．x＝﹣5或4x+3y+23＝0 D．x＝﹣5或4x﹣3y+17＝0 3．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）． (1)求圆C的方程； (2)求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程． 题型四 直线与圆相关弦问题【解题点拨】判断弦长是否等于直径 (1)当弦长等于直径，1条割线，割线过圆心，点斜式 (2)当弦长不等于直径，2条割线，设割线方程为 ，利用 ， 特别地，若只求出一个方程时，另一条割线方程为 . 弦长公式：（r是圆的半径，d是圆心到弦的距离） 1．直线y＝x被圆（x﹣1）2+y2＝6截得的弦长是 　　． 2．已知圆C的圆心在直线y＝3上．且C经过点A（4，2），D（0，2）． (1)求C的标准方程； (2)过点P（1，1）的直线l被C所截得的弦长为4，求l的方程． 题型五 与圆有关的最值问题 类型一：定点弦问题 1. 已知直线l：，和圆C：，则下列说法正确的是（ ） A．直线l恒过定点 B．直线l被圆截得的弦长的取值范围为 C．当直线l被圆截得的弦长最短时，直线l的方程为 D．圆C上任一点P到直线l的距离的最大值为 2. 已知圆C：，直线l：，直线l与圆C交于A、B两点，则的最大值为（ ）A． B． C． D． 思考：求△面积的最大值，并求出此时直线l的方程. 类型二：切点弦问题 3. 已知圆C：和直线l：相切． （1）求圆C半径； （2）若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，记四边形MACB的面积为S． ①求S的最小值及此时直线AB的方程； ②证明直线AB恒过定点． 切点弦问题中的秒杀结论 类型三：参数方程求最值 圆的参数方程为： 4. 已知实数x，y满足，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为4 已知点在圆上，则的最大值为 题型六 与圆有关的轨迹问题 1. 已知点，O为坐标原点，若动点满足． （1）求动点P的轨迹方程 （2）过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 2. 已知定点，，动点满足． （1）求动点P的轨迹C的方程 （2）已知点，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点P使得，求实数m的取值范围. 4. 在平面中，已知，． （1）求的取值范围 （2）求的最大值； （3）求△面