7.5解直角三角形（八大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）九年级下册数学《第7章 锐角三角函数》 7.5 解直角三角形 知识点 解直角三角形 ◆1、解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. ◆2、直角三角形中的边角关系： 直角三角形各元素之间的关系 图形 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°. 三边之间的关系 a² + b²=c² 边角之间的关系 sin A＝ ＝ ＝． sin B＝ ＝ ＝． cos A＝ ＝ ＝． cos B＝ ＝ ＝． tan A＝ ＝ ＝． tan B＝ ＝ ＝． ◆3、解直角三角形的类型及基本解法 已知条件 图形 解法 两边 （1）两条直角边a,b ①由tan A＝，求∠A. ②∠B=90°－∠A. ③. （2）斜边和一条直角边（如a,c） ①由sin A＝ ＝cos B求∠A ,∠B． ②. 一 边 一 锐 角 （3）一个锐角及其对边（如a, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ② c = , b = . （4）一个锐角及其L邻边（如b, ∠A） ①∠B=90°－∠A. ②a=b tan A , c = . （5）一个锐角及其斜边（如∠A , c） ①∠B=90°－∠A. ②a=c sin A , b =c cos A . 【注意】 1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边. 题型一 已知斜边和一直角边解直角三角形 【例题1】已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c，解这个直角三角形． 解题技巧提炼 已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 【变式1-1】在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（　　） A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°-∠B求出 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件求出直角三角形的其他元素． （1）BC＝35，AB＝35； （2）BC＝8，∠B＝60°． 题型二 已知两直角边解直角三角形 【例题2】（2022秋•宝应县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4．解这个直角三角形． 解题技巧提炼 已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边，然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 【变式2-1】（2022春•罗湖区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值 为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 【变式2-3】（2023春•息县期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 【变式2-4】（2022秋•周村区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，． （1）求tanB的值； （2）若BC＝24，求斜边AB的长． 题型三 已知一锐角一直角边解直角三角形 【例题1】（2023秋•南沙区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，则AB的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 解题技巧提炼 已知一锐角和一直角边：通常先利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边(求出两条边后，也可利用勾股定理求第三条边). 【变式3-1】（2023秋•松江区期末）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，那么AB的长 为（　　） A． B． C．asinα